Signo de un número racional escrito como fracción
Resumen inicial
El signo de una fracción depende de los signos de sus términos: signos iguales dan positivo, signos distintos dan negativo.
Explicación en palabras simples
El signo de una fracción racional sigue exactamente la misma regla de signos que la división. Si el numerador y el denominador tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos), la fracción es positiva; si tienen signos distintos, la fracción es negativa.
Explicación formal
Para un racional $q = \frac{a}{b}$ con $a, b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$, la Regla del Signo Racional establece:
$$\operatorname{sgn}\left(\frac{a}{b}\right) = \operatorname{sgn}(a) \cdot \operatorname{sgn}(b) \implies \frac{-a}{-b} = \frac{a}{b} \quad \land \quad \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$$
Desglose de la fórmula:
- $\frac{-a}{-b} = +\frac{a}{b}$: Dos signos negativos se cancelan dando un racional positivo.
- $\frac{-a}{b} = -\frac{a}{b}$: Un único signo menos en numerador o denominador hace negativa a toda la fracción.
Complemento didáctico: Es preferible escribir el signo menos frente a la barra principal de la fracción, $- \frac{a}{b}$, para mantener el orden algebraico.
La alternativa correcta es 'Positivo (+4)', porque signos iguales dan resultado positivo.
Definiciones clave
- Polaridad racional: Determina si $\frac{a}{b} > 0$, $\frac{a}{b} < 0$ o $\frac{a}{b} = 0$.
- Cancelación de signos: $\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$.
Ejemplo guiado
Determine el signo del número racional $\frac{-15}{-3}$ y simplifique su expresión.
- Paso 1: Observar los signos de numerador y denominador: ambos son negativos.
- Paso 2: Aplicar la regla de signos $\frac{-a}{-b} = +\frac{a}{b}$.
- Paso 3: Calcular la división: $\frac{15}{3} = 5$.
- Conclusión: El número racional $\frac{-15}{-3}$ es positivo y equivale a $+5$.
La alternativa correcta es '5'.
Procedimiento
- Paso 1: Evaluar los signos antecedente del numerador y del denominador.
- Paso 2: Si los signos son iguales, asignar polaridad positiva a la fracción.
- Paso 3: Si los signos son distintos, asignar polaridad negativa a la fracción (colocando el signo frente a la barra).
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Creer que la fracción $\frac{-4}{-5}$ es un número negativo. Cómo corregirlo: Al ser ambos negativos, los signos menos se cancelan dando un valor POSITIVO ($\frac{4}{5}$).
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Error 2: Duplicar el signo menos al escribir $-\frac{-a}{b}$. Cómo corregirlo: Un doble signo menos se simplifica a positivo ($-(-\frac{a}{b}) = +\frac{a}{b}$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Un único signo menos en el denominador hace negativa a toda la fracción: $\frac{7}{-10} = -\frac{7}{10}$.
- Signos iguales dan positivo: $\frac{-18}{-6} = +3$.
- Sí, las tres expresiones representan exactamente el mismo número racional negativo.
- No, al tener signos iguales en numerador y denominador es un número racional positivo (4/9).
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Determinar, normalizar y transformar el signo de un número racional escrito en notación fraccionaria.
Aplicando la equivalencia de signos $-?rac{a}{b} = ?rac{-a}{b} = ?rac{a}{-b}$ para fracciones negativas y $?rac{-a}{-b} = ?rac{a}{b}$ para fracciones positivas según las reglas de los signos.