Signo de un número racional escrito como fracción
Determinar el signo de una fracción a partir de los signos de su numerador y su denominador.
Introducción
El signo de una fracción no depende únicamente del numerador: depende de la combinación de los signos de numerador y denominador, igual que en la multiplicación y la división de enteros.
Explicación
Definición formal
Para \(a,b\in\mathbb{Z}\), \(b\neq0\): \(\frac{a}{b}>0 \Leftrightarrow (a>0 \wedge b>0) \vee (a<0 \wedge b<0)\), y \(\frac{a}{b}<0 \Leftrightarrow (a>0 \wedge b<0) \vee (a<0 \wedge b>0)\). Esta regla coincide con la ley de signos de la división de enteros.
Desarrollo didáctico
\(-\frac{2}{5}\) y \(\frac{2}{-5}\) son negativos, porque numerador y denominador tienen signos distintos en ambos casos. En cambio, \(-\frac{2}{-5}\) es positivo, porque los dos signos negativos se combinan como uno positivo. Por convención, se prefiere escribir el signo en el numerador: \(-\frac{2}{5}\) en vez de \(\frac{2}{-5}\) o \(\frac{-2}{-5}\).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica por separado el signo del numerador y el del denominador.
- Paso 2: Combina los signos: iguales producen positivo y distintos producen negativo.
- Paso 3: Normaliza la escritura dejando, de preferencia, el signo menos en el numerador.
Ejemplos
1 \(-\frac{2}{5}\) y \(\frac{2}{-5}\) son negativos, mientras que \(-\frac{2}{-5}\) es positivo.
- Identifica por separado el signo del numerador y el del denominador.
- Combina los signos: iguales producen positivo y distintos producen negativo.
- Normaliza la escritura dejando, de preferencia, el signo menos en el numerador.
2 Una solución aplica “Combina los signos: iguales producen positivo y distintos producen negativo.”, pero termina sin comprobar que si numerador y denominador tienen igual signo, la fracción es positiva. Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define signo de un número racional escrito como fracción: el signo de un número racional depende del signo conjunto del numerador y del denominador.
- Identifica por separado el signo del numerador y el del denominador.
- Completa la revisión con este control: Normaliza la escritura dejando, de preferencia, el signo menos en el numerador.
3 ¿Se cumple que si numerador y denominador tienen igual signo, la fracción es positiva? — Signo de un número racional escrito como fracción
- Sí. La definición pertinente establece que el signo de un número racional depende del signo conjunto del numerador y del denominador.
- El caso “\(-\frac{2}{5}\) y \(\frac{2}{-5}\) son negativos, mientras que \(-\frac{2}{-5}\) es positivo” satisface esa condición.
- Normaliza la escritura dejando, de preferencia, el signo menos en el numerador.
4 ¿Es válido omitir el paso “Identifica por separado el signo del numerador y el del denominador”? — Signo de un número racional escrito como fracción
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de signo de un número racional escrito como fracción.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Combina los signos: iguales producen positivo y distintos producen negativo.
- La solución debe terminar de este modo: Normaliza la escritura dejando, de preferencia, el signo menos en el numerador.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Empezar signo de un número racional escrito como fracción sin realizar este control inicial: Identifica por separado el signo del numerador y el del denominador."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Memorizar “\(-\frac{2}{5}\) y \(\frac{2}{-5}\) son negativos, mientras que \(-\frac{2}{-5}\) es positivo” como respuesta aislada, sin reconstruir la definición que lo justifica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Convertir en receta el paso “Combina los signos: iguales producen positivo y distintos producen negativo.” y usarlo aunque cambien las condiciones del problema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dar por válida una conclusión sobre signo de un número racional escrito como fracción que contradice el criterio “Si numerador y denominador tienen igual signo, la fracción es positiva”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cerrar el ejercicio sin esta comprobación específica: Normaliza la escritura dejando, de preferencia, el signo menos en el numerador."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El signo de \(\frac{a}{b}\) es positivo si \(a\) y \(b\) tienen el mismo signo, y negativo si tienen signos distintos.