Representación de números enteros como racionales
Representar cualquier número entero como un número racional de denominador \(1\).
Introducción
Los enteros y los racionales no son conjuntos separados: todo entero puede mirarse también como un caso particular de número racional, lo que explica por qué \(\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\).
Explicación
Definición formal
Para cualquier \(n\in\mathbb{Z}\), la fracción \(\frac{n}{1}\) cumple la definición de número racional (\(n\) y \(1\) son enteros, y \(1\neq0\)), y además \(\frac{n}{1}=n\). Esto demuestra que \(\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\): todo entero es racional, aunque no todo racional sea entero.
Desarrollo didáctico
El entero \(-3\) se representa como \(-\frac{3}{1}\); dividiendo, \(-3/1=-3\), así que el valor no cambia. Esta representación permite tratar a los enteros con las mismas reglas de operatoria que a las demás fracciones.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Toma el entero que quieres expresar como fracción.
- Paso 2: Colócalo como numerador y usa \(1\) como denominador.
- Paso 3: Divide para comprobar que \(n/1=n\) y que el valor no cambió.
Ejemplos
1 El entero \(-3\) puede escribirse como \(-\frac{3}{1}\).
- Toma el entero que quieres expresar como fracción.
- Colócalo como numerador y usa \(1\) como denominador.
- Divide para comprobar que \(n/1=n\) y que el valor no cambió.
2 Una solución aplica “Colócalo como numerador y usa \(1\) como denominador.”, pero termina sin comprobar que el conjunto de los enteros está contenido en el conjunto de los racionales. Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define representación de números enteros como racionales: todo número entero puede escribirse como un racional con denominador 1.
- Toma el entero que quieres expresar como fracción.
- Completa la revisión con este control: Divide para comprobar que \(n/1=n\) y que el valor no cambió.
3 ¿Se cumple que el conjunto de los enteros está contenido en el conjunto de los racionales? — Representación de números enteros como racionales
- Sí. La definición pertinente establece que todo número entero puede escribirse como un racional con denominador 1.
- El caso “El entero \(-3\) puede escribirse como \(-\frac{3}{1}\)” satisface esa condición.
- Divide para comprobar que \(n/1=n\) y que el valor no cambió.
4 ¿Es válido omitir el paso “Toma el entero que quieres expresar como fracción”? — Representación de números enteros como racionales
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de representación de números enteros como racionales.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Colócalo como numerador y usa \(1\) como denominador.
- La solución debe terminar de este modo: Divide para comprobar que \(n/1=n\) y que el valor no cambió.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Empezar representación de números enteros como racionales sin realizar este control inicial: Toma el entero que quieres expresar como fracción."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Memorizar “El entero \(-3\) puede escribirse como \(-\frac{3}{1}\)” como respuesta aislada, sin reconstruir la definición que lo justifica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Convertir en receta el paso “Colócalo como numerador y usa \(1\) como denominador.” y usarlo aunque cambien las condiciones del problema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dar por válida una conclusión sobre representación de números enteros como racionales que contradice el criterio “El conjunto de los enteros está contenido en el conjunto de los racionales”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cerrar el ejercicio sin esta comprobación específica: Divide para comprobar que \(n/1=n\) y que el valor no cambió."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Todo número entero \(n\) puede escribirse como el racional \(\frac{n}{1}\), ya que \(n/1=n\).