Definición de número racional como a/b con b distinto de cero
Reconocer si un número puede escribirse como cociente de dos enteros y pertenece por tanto a \(\mathbb{Q}\).
Introducción
Los enteros no alcanzan para representar todas las cantidades que aparecen al medir o repartir: falta un conjunto que incluya también las fracciones y los decimales exactos o periódicos. Ese conjunto es \(\mathbb{Q}\), el de los números racionales.
Explicación
Definición formal
\(\mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b} : a, b \in \mathbb{Z}, \; b \neq 0\right\}\). Un número pertenece a \(\mathbb{Q}\) si existe al menos una forma de escribirlo como cociente de dos enteros con denominador distinto de cero.
Desarrollo didáctico
\(\frac{3}{4}\) es racional porque \(3\) y \(4\) son enteros y \(4\neq0\). \(-\frac{7}{2}\) también lo es, con \(a=-7\) y \(b=2\). Incluso \(5\) es racional, porque puede escribirse como \(\frac{5}{1}\): todo entero es, en particular, un número racional.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Escribe el número como un cociente \(a/b\) de enteros.
- Paso 2: Comprueba que el denominador elegido sea distinto de cero.
- Paso 3: Concluye si la representación cumple completa la definición de racional.
Ejemplos
1 \(\frac{3}{4}\), \(-\frac{7}{2}\) y \(5=\frac{5}{1}\) son racionales.
- Escribe el número como un cociente \(a/b\) de enteros.
- Comprueba que el denominador elegido sea distinto de cero.
- Concluye si la representación cumple completa la definición de racional.
2 Una solución aplica “Comprueba que el denominador elegido sea distinto de cero.”, pero termina sin comprobar que todo número racional tiene una representación fraccionaria con denominador distinto de cero. Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define definición de número racional como a/b con b distinto de cero: un número racional es todo número que puede escribirse como \(\frac{a}{b}\) con \(a, b \in \mathbb{Z}\) y \(b \neq 0\).
- Escribe el número como un cociente \(a/b\) de enteros.
- Completa la revisión con este control: Concluye si la representación cumple completa la definición de racional.
3 ¿Se cumple que todo número racional tiene una representación fraccionaria con denominador distinto de cero? — Definición de número racional como a/b con b distinto de cero
- Sí. La definición pertinente establece que un número racional es todo número que puede escribirse como \(\frac{a}{b}\) con \(a, b \in \mathbb{Z}\) y \(b \neq 0\).
- El caso “\(\frac{3}{4}\), \(-\frac{7}{2}\) y \(5=\frac{5}{1}\) son racionales” satisface esa condición.
- Concluye si la representación cumple completa la definición de racional.
4 ¿Es válido omitir el paso “Escribe el número como un cociente \(a/b\) de enteros”? — Definición de número racional como a/b con b distinto de cero
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de definición de número racional como a/b con b distinto de cero.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Comprueba que el denominador elegido sea distinto de cero.
- La solución debe terminar de este modo: Concluye si la representación cumple completa la definición de racional.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Empezar definición de número racional como a/b con b distinto de cero sin realizar este control inicial: Escribe el número como un cociente \(a/b\) de enteros."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Memorizar “\(\frac{3}{4}\), \(-\frac{7}{2}\) y \(5=\frac{5}{1}\) son racionales” como respuesta aislada, sin reconstruir la definición que lo justifica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Convertir en receta el paso “Comprueba que el denominador elegido sea distinto de cero.” y usarlo aunque cambien las condiciones del problema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dar por válida una conclusión sobre definición de número racional como a/b con b distinto de cero que contradice el criterio “Todo número racional tiene una representación fraccionaria con denominador distinto de cero”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cerrar el ejercicio sin esta comprobación específica: Concluye si la representación cumple completa la definición de racional."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Un número racional es todo número que puede escribirse como \(\frac{a}{b}\), con \(a, b \in \mathbb{Z}\) y \(b \neq 0\).