Cálculo del error relativo
Resumen inicial
El error relativo es la razón entre el error absoluto y el valor real exacto, proporcionando una medida adimensional de la calidad o precisión de la aproximación.
Explicación en palabras simples
Un error de $1\text{ cm}$ no significa lo mismo si medimos un tornillo de $2\text{ cm}$ que si medimos una carretera de $10\text{ km}$. El error relativo soluciona este problema dividiendo el error absoluto entre el valor real; al cancelarse las unidades de medida, obtenemos un número puro que nos indica la verdadera precisión de la estimación sin importar la escala.
Explicación formal
Sea $x_{\text{real}} \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ y $x_{\text{aprox}} \in \mathbb{R}$, el Error Relativo $E_{\text{rel}}$ se define mediante el cociente:
$$E_{\text{rel}} = \frac{E_{\text{abs}}}{|x_{\text{real}}|} = \frac{|x_{\text{real}} - x_{\text{aprox}}|}{|x_{\text{real}}|}$$
Desglose formal de la fórmula:
- $E_{\text{abs}}$: Error absoluto en el numerador.
- $|x_{\text{real}}|$: Valor absoluto del valor real de referencia en el denominador ($x_{\text{real}} \neq 0$).
- Magnitud adimensional: Las unidades del numerador y denominador se cancelan, permitiendo la comparación universal de precisión.
Complemento didáctico: A menor error relativo, mayor es la calidad y exactitud de la aproximación. Un error relativo cercano a cero ($E_{\text{rel}} \to 0$) representa máxima precisión.
La alternativa correcta es 'Porque se cancelan las unidades del error absoluto con las del valor real en la división'.
Definiciones clave
- Error relativo: Razón adimensional $\frac{E_{\text{abs}}}{|x_{\text{real}}|}$ que pondera el error según la magnitud real.
- Adimensionalidad: Propiedad matemática de no depender de ninguna unidad de medida específica.
- Calidad de aproximación: Métrica inversa del error relativo (menor error relativo implica mayor calidad).
Propiedades y relaciones importantes
- Independencia de escala: Permite comparar la precisión entre magnitudes astronómicas y microscópicas.
- No negatividad: $E_{\text{rel}} \ge 0$.
- Invarianza ante cambio de unidades: Medir en metros o centímetros arroja exactamente el mismo error relativo.
Ejemplo guiado
Si el valor real es $10\text{ m}$ y el valor aproximado es $9,5\text{ m}$, calcule el error relativo de la medición.
- Paso 1: Calcular el error absoluto: $E_{\text{abs}} = |10 - 9,5| = 0,5\text{ m}$.
- Paso 2: Identificar el valor real: $|x_{\text{real}}| = 10\text{ m}$.
- Paso 3: Calcular el cociente del error relativo: $$E_{\text{rel}} = \frac{0,5\text{ m}}{10\text{ m}} = 0,05 = \frac{1}{20}$$
- Conclusión: El error relativo es $0,05$ (o $\frac{1}{20}$, sin unidades de medida).
La alternativa correcta es '$0,05$'.
Procedimiento
- Paso 1: Calcular el error absoluto $E_{\text{abs}} = |x_{\text{real}} - x_{\text{aprox}}|$.
- Paso 2: Dividir el error absoluto entre el valor absoluto del valor real ($|x_{\text{real}}|$).
- Paso 3: Simplificar la fracción resultante o expresarla en notación decimal pura sin unidades.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Dividir el error absoluto por el valor aproximado en vez del valor real. Cómo corregirlo: La referencia en el denominador DEBE ser SIEMPRE el valor REAL exacto ($|x_{\text{real}}|$).
- Error 2: Agregar unidades de medida al error relativo (ej: escribir $0,05\text{ m}$). Cómo corregirlo: El error relativo es un número puro adimensional; las unidades se cancelan.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $E_{\text{abs}} = |8 - 7,6| = 0,4$. $E_{\text{rel}} = \frac{0,4}{8} = 0,05$.
- $E_{\text{rel}_1} = \frac{1}{10} = 0,10$; $E_{\text{rel}_2} = \frac{1}{100} = 0,01$. A menor error relativo, mayor precisión.
- Sí, es un cociente adimensional.
- Sí, un menor error relativo representa una mayor fidelidad y calidad de la aproximación.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Calcular el error relativo para evaluar cuantitativamente la precisión de una estimación.
Dividiendo el error absoluto entre el valor absoluto del valor real ($E_{\text{rel}} = \frac{|x_{\text{real}} - x_{\text{aprox}}|}{|x_{\text{real}}|}$), obteniendo un valor adimensional que permite comparar la calidad de mediciones en distintas escalas.