Cálculo del error porcentual
Resumen inicial
El error porcentual expresa el error relativo como un porcentaje multiplicándolo por 100%, facilitando la comunicación e interpretación de la exactitud.
Explicación en palabras simples
El error porcentual toma el error relativo y lo convierte en un porcentaje multiplicándolo por $100\%$. Nos dice cuántas partes de error cometemos por cada $100$ partes del valor real. Por ejemplo, un error relativo de $0,025$ se traduce de inmediato en un error porcentual de $2,5\%$, lo que facilita comunicar la precisión en contextos cotidianos y científicos.
Explicación formal
Dado el error relativo $E_{\text{rel}} = \frac{|x_{\text{real}} - x_{\text{aprox}}|}{|x_{\text{real}}|}$, el Error Porcentual $E_{\%}$ se define formalmente mediante:
$$E_{\%} = E_{\text{rel}} \cdot 100\% = \left( \frac{|x_{\text{real}} - x_{\text{aprox}}|}{|x_{\text{real}}|} \right) \cdot 100\%$$
Desglose formal de la fórmula:
- $E_{\text{rel}}$: Cociente adimensional de error.
- Factor $100\%$: Factor de escala que transforma la razón a base porcentual centesimal.
- Rango estándar: $E_{\%} \ge 0\%$, donde $0\%$ indica una exactitud absoluta ($x_{\text{real}} = x_{\text{aprox}}$).
Complemento didáctico: En aplicaciones técnicas y científicas, una medición con $E_{\%} < 1\%$ se considera de alta precisión, mientras que márgenes entre $1\%$ y $5\%$ son comunes en ingeniería.
La alternativa correcta es 'Multiplicando el error relativo por 100%'.
Definiciones clave
- Error porcentual: Expresión en base 100 del error relativo ($E_{\text{rel}} \cdot 100\%$).
- Margen de tolerancia porcentual: Umbral máximo de error permitido en una especificación técnica.
- Exactitud porcentual: Medida complementaria ($100\% - E_{\%}$) que describe la fidelidad del cálculo.
Propiedades y relaciones importantes
- Correspondencia biunívoca con el error relativo: $E_{\text{rel}} = 0,01 \iff E_{\%} = 1\%$.
- Interpretación directa: Indica el número de unidades erróneas cometidas por cada 100 unidades reales evaluadas.
Ejemplo guiado
Si el valor real es $40\text{ g}$ y el valor aproximado en balanza es $39\text{ g}$, calcule el error porcentual de la medición.
- Paso 1: Calcular el error absoluto: $E_{\text{abs}} = |40 - 39| = 1\text{ g}$.
- Paso 2: Calcular el error relativo: $E_{\text{rel}} = \frac{1\text{ g}}{40\text{ g}} = 0,025$.
- Paso 3: Multiplicar por $100\%$ para obtener el error porcentual: $$E_{\%} = 0,025 \cdot 100\% = 2,5\%$$
- Conclusión: El error porcentual de la medición es $2,5\%$.
La alternativa correcta es '$2,5\%$'.
Procedimiento
- Paso 1: Calcular el error relativo $E_{\text{rel}} = \frac{|x_{\text{real}} - x_{\text{aprox}}|}{|x_{\text{real}}|}$.
- Paso 2: Multiplicar el resultado decimal por $100$.
- Paso 3: Añadir el símbolo de porcentaje ($\%$) al valor numérico resultante.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Multiplicar el error absoluto por 100% olvidando dividir por el valor real. Cómo corregirlo: El porcentaje se aplica sobre el error RELATIVO, no sobre el absoluto ($E_{\%} = \frac{E_{\text{abs}}}{x_{\text{real}}} \cdot 100\%$).
- Error 2: Desplazar la coma un solo lugar al multiplicar por 100. Cómo corregirlo: Multiplicar por 100 desplaza la coma DOS lugares a la derecha ($0,025 \cdot 100 = 2,5$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $E_{\text{rel}} = \frac{|40-39|}{40} = 0,025 \implies E_{\%} = 0,025 \cdot 100\% = 2,5\%$.
- $E_{\text{rel}} = \frac{|20-21|}{20} = \frac{1}{20} = 0,05 \implies E_{\%} = 0,05 \cdot 100\% = 5\%$.
- Sí, $0,01 \cdot 100\% = 1\%$.
- Sí, si $x_{\text{real}} = x_{\text{aprox}}$, entonces $E_{\text{abs}} = 0$, $E_{\text{rel}} = 0$ y $E_{\%} = 0\%$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Expresar el error de una aproximación en formato porcentual estándar.
Multiplicando el error relativo por $100\%$ ($E_{\%} = \frac{|x_{\text{real}} - x_{\text{aprox}}|}{|x_{\text{real}}|} \cdot 100\%$), permitiendo comunicar e interpretar la precisión de cualquier cálculo o medición en una escala centesimal comprensible.