Verificación de fracciones equivalentes mediante productos cruzados
Resumen inicial
El criterio de productos cruzados establece que $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ si y solo si el producto $a \cdot d$ es igual a $b \cdot c$.
Explicación en palabras simples
La prueba de los productos cruzados es la forma más rápida de saber si dos fracciones son iguales. Simplemente multiplicamos el número de arriba de la primera por el de abajo de la segunda, y el de abajo de la primera por el de arriba de la segunda; si ambos resultados son exactamente iguales, las fracciones son equivalentes.
Explicación formal
Para cualesquiera dos racionales $\frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in \mathbb{Q}$ con $b, d \neq 0$, la Propiedad Fundamental de la Proporcionalidad establece la equivalencia lógica:
$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$$
Desglose de la fórmula:
- $a \cdot d$: Producto del numerador extremo por el denominador extremo.
- $b \cdot c$: Producto de los medios.
- Criterio de decisión: Igualdad estricta de los productos cruzados enteros.
Complemento didáctico: Este método evita tener que convertir las fracciones a decimales o buscar denominadores comunes.
La alternativa correcta es 'Comprobar si el producto a · d es exactamente igual al producto b · c'.
Definiciones clave
- Criterio de productos cruzados: Verificación de igualdad mediante la multiplicación cruzada $a \cdot d = b \cdot c$.
Propiedades y relaciones importantes
- Criterio de orden por productos cruzados: $\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \iff a \cdot d < b \cdot c$ (para denominadores positivos).
Ejemplo guiado
Verifique mediante productos cruzados si la relación de equivalencia $\frac{4}{7} = \frac{12}{21}$ es verdadera.
- Paso 1: Identificar el primer producto cruzado (extremos): $4 \cdot 21 = 84$.
- Paso 2: Identificar el segundo producto cruzado (medios): $7 \cdot 12 = 84$.
- Paso 3: Comparar ambos resultados enteros: $84 = 84$.
- Conclusión: Como $84 = 84$, la igualdad de fracciones $\frac{4}{7} = \frac{12}{21}$ es verdaderamente cierta.
La alternativa correcta es '84'.
Procedimiento
- Paso 1: Multiplicar el numerador $a$ por el denominador $d$ obteniendo el producto $P_1 = a \cdot d$.
- Paso 2: Multiplicar el denominador $b$ por el numerador $c$ obteniendo el producto $P_2 = b \cdot c$.
- Paso 3: Comprobar la igualdad $P_1 = P_2$ para dictaminar si las fracciones son equivalentes.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Multiplicar en paralelo en lugar de en cruz ($a \cdot c$ y $b \cdot d$). Cómo corregirlo: Los productos deben ser estrictamente CRUZADOS ($a \cdot d$ y $b \cdot c$).
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Error 2: Sumar en cruz en lugar de multiplicar. Cómo corregirlo: La prueba exige la MULTIPLICACIÓN entero a entero ($a \cdot d = b \cdot c$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $5 \cdot 18 = 90$ y $6 \cdot 15 = 90$. Son equivalentes.
- $2 \cdot 7 = 14$ y $5 \cdot 3 = 15$. Como $14 \neq 15$, no son equivalentes.
- Sí, despejando $x = (a \cdot d) / b$.
- Sí, $3 \cdot 12 = 36$ y $4 \cdot 9 = 36$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Verificar la equivalencia entre dos fracciones y comparar su orden relativo mediante productos cruzados.
Evaluando los productos $P_1 = a \cdot d$ y $P_2 = b \cdot c$ ($b, d > 0$), concluyendo que $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff P_1 = P_2$ y que $\frac{a}{b} > \frac{c}{d} \iff P_1 > P_2$.