Detección de decimal periódico desde la fracción irreductible
Resumen inicial
Una fracción irreductible $\frac{a}{b}$ genera un decimal periódico puro si $b$ carece de factores primos $2$ y $5$, y semiperiódico si $b$ combina factores de $\{2,5\}$ con otros primos.
Explicación en palabras simples
Mirando la descomposición prima del denominador de una fracción simplificada podemos predecir con exactitud si el decimal será periódico puro o semiperiódico. Si el denominador no tiene ni al 2 ni al 5 (solo primos como 3, 7, 11 o 13), el decimal será periódico puro. Si combina al 2 o al 5 junto a otros primos, será semiperiódico.
Explicación formal
Dada la fracción $\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}$ irreductible con $\operatorname{MCD}(a, b) = 1$, la Detección Estructural del Decimal Infinito Periódico establece:
$$1. \operatorname{MCD}(b, 10) = 1 \iff \text{Decimal Infinito Periódico Puro } (0,\overline{p_1\dots p_k})$$
$$2. b = 2^m \cdot 5^n \cdot p \quad (m+n > 0 \land \operatorname{MCD}(p, 10)=1 \land p > 1) \iff \text{Decimal Infinito Semiperiódico } (0,a_1\dots a_r\overline{p_1\dots p_k})$$
Desglose formal del teorema:
- Sin factores $2$ ni $5$ ($\operatorname{MCD}(b,10)=1$): Ninguna potencia de 10 puede cancelar una fracción de $b$, obligando a que la periodicidad inicie inmediatamente tras la coma.
- Factores mixtos: Los factores $2^m$ y $5^n$ generan las cifras no repetitivas del anteperíodo (de longitud $r = \max(m, n)$), mientras que el factor $p$ genera el período.
Complemento didáctico: Este teorema permite clasificar cualquier número racional en $\mathbb{Q}$ sin necesidad de efectuar divisiones largas.
La alternativa correcta es 'Que b no contenga ningún factor primo 2 ni 5 ($\operatorname{MCD}(b, 10) = 1$)'.
Definiciones clave
- Decimal periódico puro: Expansión decimal infinita cuyo bloque repetitivo (período) inicia inmediatamente tras la coma.
- Decimal semiperiódico: Expansión decimal que posee una parte no periódica (anteperíodo) antes del bloque repetitivo.
- Coprimo con diez: Condición $\operatorname{MCD}(b, 10) = 1$ que garantiza la ausencia de factores 2 y 5 en $b$.
Propiedades y relaciones importantes
- Discriminación completa en $\mathbb{Q}$: Todo número racional irreductible es o finito, o periódico puro, o semiperiódico.
- Longitud del anteperíodo: La cantidad de cifras del anteperíodo en un semiperiódico es exactamente $\max(m, n)$ en $b = 2^m \cdot 5^n \cdot p$.
Ejemplo guiado
Clasifique sin dividir las expansiones decimales de $\frac{5}{21}$ y $\frac{7}{30}$.
- Paso 1: Analizar $\frac{5}{21}$ irreductible: $21 = 3 \cdot 7$. No tiene factores $2$ ni $5 \implies$ **Decimal Infinito Periódico Puro**.
- Paso 2: Analizar $\frac{7}{30}$ irreductible: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Tiene factores de $\{2,5\}$ Y el primo $3 \implies$ **Decimal Infinito Semiperiódico**.
- Conclusión: $\frac{5}{21}$ es periódico puro y $\frac{7}{30}$ es semiperiódico.
La alternativa correcta es 'Porque combina los primos 2 y 5 (que generan anteperíodo) con el primo 3 (que genera período)'.
Procedimiento
- Paso 1: Simplificar la fracción al máximo hasta obtener $\frac{a}{b}$ irreductible.
- Paso 2: Descomponer el denominador $b$ en sus factores primos.
- Paso 3: Si no incluye $2$ ni $5$, clasificar como periódico puro. Si combina $2$ o $5$ con otros primos, clasificar como semiperiódico.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Clasificar $\frac{3}{15}$ como decimal periódico por ver $15 = 3 \cdot 5$. Cómo corregirlo: Se DEBE simplificar primero: $\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$, cuyo denominador $5$ produce un decimal FINITO ($0,2$).
- Error 2: Confundir cuál tipo de factor produce el anteperíodo. Cómo corregirlo: Los factores $2$ y $5$ en presencia de otros factores primos son los responsables exclusivos de originar las cifras del anteperíodo.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $7$ no contiene factores $2$ ni $5 \implies$ periódico puro.
- $6 = 2 \cdot 3 \implies$ combina el primo 2 con el primo 3 $\implies$ semiperiódico ($0,8\overline{3}$).
- Sí, $11$ no tiene ni 2 ni 5 en sus factores $\implies 0,\overline{36}$.
- Sí, $12 = 2^2 \cdot 3 \implies$ combina 2 con el primo 3 $\implies 0,08\overline{3}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Clasificar inequívocamente si una fracción genera un decimal infinito periódico puro o semiperiódico a partir de la estructura prima de su denominador.
Simplificando la fracción a irreductible $\frac{a}{b}$ y verificando si $\operatorname{MCD}(b, 10) = 1$ (periódico puro) o si $b$ combina factores de $\{2, 5\}$ con otros factores primos ($b = 2^m \cdot 5^n \cdot p$, semiperiódico con anteperíodo de longitud $\max(m, n)$).