Detección de decimal finito desde la fracción irreductible
Predecir si una fracción producirá un decimal finito sin necesidad de dividir, analizando el denominador.
Introducción
Antes de dividir, es posible anticipar el tipo de decimal que resultará de una fracción con solo factorizar su denominador (en forma irreductible).
Explicación
Definición formal
Si \(b=2^m\cdot5^n\) (sin otros factores primos), entonces \(\frac{a}{b}\) tiene expresión decimal finita, pues \(\frac{a}{b}\) puede amplificarse hasta obtener un denominador potencia de 10.
Desarrollo didáctico
\(\frac{3}{20}\) da decimal finito porque \(20=2^2\cdot5\), cuyos únicos factores primos son 2 y 5; amplificando por 5 se obtiene \(\frac{15}{100}=0.15\).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Reduce la fracción a su forma irreductible.
- Paso 2: Factoriza el denominador y comprueba que solo contenga factores \(2\) y/o \(5\).
- Paso 3: Concluye que la expansión termina y confirma mediante la división.
Ejemplos
1 \(\frac{3}{20}\) da decimal finito porque \(20=2^2\cdot 5\).
- Reduce la fracción a su forma irreductible.
- Factoriza el denominador y comprueba que solo contenga factores \(2\) y/o \(5\).
- Concluye que la expansión termina y confirma mediante la división.
2 Una solución aplica “Factoriza el denominador y comprueba que solo contenga factores \(2\) y/o \(5\).”, pero termina sin comprobar que los factores 2 y 5 son los que aparecen en las potencias de 10. Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define detección de decimal finito desde la fracción irreductible: una fracción irreductible produce decimal finito cuando su denominador solo tiene factores primos 2 y/o 5.
- Reduce la fracción a su forma irreductible.
- Completa la revisión con este control: Concluye que la expansión termina y confirma mediante la división.
3 ¿Se cumple que los factores 2 y 5 son los que aparecen en las potencias de 10? — Detección de decimal finito desde la fracción irreductible
- Sí. La definición pertinente establece que una fracción irreductible produce decimal finito cuando su denominador solo tiene factores primos 2 y/o 5.
- El caso “\(\frac{3}{20}\) da decimal finito porque \(20=2^2\cdot 5\)” satisface esa condición.
- Concluye que la expansión termina y confirma mediante la división.
4 ¿Es válido omitir el paso “Reduce la fracción a su forma irreductible”? — Detección de decimal finito desde la fracción irreductible
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de detección de decimal finito desde la fracción irreductible.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Factoriza el denominador y comprueba que solo contenga factores \(2\) y/o \(5\).
- La solución debe terminar de este modo: Concluye que la expansión termina y confirma mediante la división.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Empezar detección de decimal finito desde la fracción irreductible sin realizar este control inicial: Reduce la fracción a su forma irreductible."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Memorizar “\(\frac{3}{20}\) da decimal finito porque \(20=2^2\cdot 5\)” como respuesta aislada, sin reconstruir la definición que lo justifica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Convertir en receta el paso “Factoriza el denominador y comprueba que solo contenga factores \(2\) y/o \(5\).” y usarlo aunque cambien las condiciones del problema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dar por válida una conclusión sobre detección de decimal finito desde la fracción irreductible que contradice el criterio “Los factores 2 y 5 son los que aparecen en las potencias de 10”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cerrar el ejercicio sin esta comprobación específica: Concluye que la expansión termina y confirma mediante la división."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una fracción irreductible \(\frac{a}{b}\) produce un decimal finito si y solo si los únicos factores primos de \(b\) son 2 y/o 5.