Conversión de decimal semiperiódico a fracción
Convertir un decimal semiperiódico a fracción separando el efecto del anteperíodo y del período.
Introducción
Cuando el decimal tiene un anteperíodo además del período, se necesita un paso adicional: multiplicar primero por una potencia de 10 que desplace la coma hasta el inicio del período, y luego aplicar el método de resta.
Explicación
Definición formal
Si \(x=0.a_1\ldots a_m\overline{c_1\ldots c_k}\), se calculan \(10^{m+k}x\) y \(10^m x\); ambas comparten la misma cola periódica, así que al restarlas \((10^{m+k}-10^m)x\) es un entero, y se despeja \(x\) como fracción.
Desarrollo didáctico
Si \(x=0.1\overline{6}\), se usan \(10x=1.\overline{6}\) y \(100x=16.\overline{6}\); al restar, \(100x-10x=15\), es decir \(90x=15\), por lo tanto \(x=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}\).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Llama \(x\) al decimal y cuenta cifras de anteperíodo y período.
- Paso 2: Forma dos ecuaciones con potencias de diez que alineen la parte repetitiva y réstalas.
- Paso 3: Despeja, simplifica y comprueba que la fracción reproduce anteperíodo y período.
Ejemplos
1 Si \(x=0.1\overline{6}\), se usan \(10x\) y \(100x\) para cancelar la repetición y hallar la fracción.
- Llama \(x\) al decimal y cuenta cifras de anteperíodo y período.
- Forma dos ecuaciones con potencias de diez que alineen la parte repetitiva y réstalas.
- Despeja, simplifica y comprueba que la fracción reproduce anteperíodo y período.
2 Una solución aplica “Forma dos ecuaciones con potencias de diez que alineen la parte repetitiva y réstalas.”, pero termina sin comprobar que en un semiperiódico hay que considerar por separado anteperíodo y período. Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define conversión de decimal semiperiódico a fracción: un decimal semiperiódico se convierte a fracción aislando el anteperíodo y el período con potencias de 10 adecuadas.
- Llama \(x\) al decimal y cuenta cifras de anteperíodo y período.
- Completa la revisión con este control: Despeja, simplifica y comprueba que la fracción reproduce anteperíodo y período.
3 ¿Se cumple que en un semiperiódico hay que considerar por separado anteperíodo y período? — Conversión de decimal semiperiódico a fracción
- Sí. La definición pertinente establece que un decimal semiperiódico se convierte a fracción aislando el anteperíodo y el período con potencias de 10 adecuadas.
- El caso “Si \(x=0.1\overline{6}\), se usan \(10x\) y \(100x\) para cancelar la repetición y hallar la fracción” satisface esa condición.
- Despeja, simplifica y comprueba que la fracción reproduce anteperíodo y período.
4 ¿Es válido omitir el paso “Llama \(x\) al decimal y cuenta cifras de anteperíodo y período”? — Conversión de decimal semiperiódico a fracción
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de conversión de decimal semiperiódico a fracción.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Forma dos ecuaciones con potencias de diez que alineen la parte repetitiva y réstalas.
- La solución debe terminar de este modo: Despeja, simplifica y comprueba que la fracción reproduce anteperíodo y período.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Empezar conversión de decimal semiperiódico a fracción sin realizar este control inicial: Llama \(x\) al decimal y cuenta cifras de anteperíodo y período."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Memorizar “Si \(x=0.1\overline{6}\), se usan \(10x\) y \(100x\) para cancelar la repetición y hallar la fracción” como respuesta aislada, sin reconstruir la definición que lo justifica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Convertir en receta el paso “Forma dos ecuaciones con potencias de diez que alineen la parte repetitiva y réstalas.” y usarlo aunque cambien las condiciones del problema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dar por válida una conclusión sobre conversión de decimal semiperiódico a fracción que contradice el criterio “En un semiperiódico hay que considerar por separado anteperíodo y período”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cerrar el ejercicio sin esta comprobación específica: Despeja, simplifica y comprueba que la fracción reproduce anteperíodo y período."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para convertir un decimal semiperiódico a fracción se multiplica \(x\) por dos potencias de 10 distintas —una que ubique la coma al inicio del período y otra al final de un ciclo del período— y se restan ambas expresiones para cancelar la parte periódica.