Conversión de decimal semiperiódico a fracción
Resumen inicial
Para convertir un decimal semiperiódico a fracción, el numerador es la resta del número sin coma menos la parte no periódica, y el denominador combina tantos 9s como cifras periódicas seguidos de tantos 0s como cifras anteperiódicas.
Explicación en palabras simples
Para transformar un decimal semiperiódico a fracción, calculamos el numerador restando el número completo sin coma ni barra menos toda la parte no periódica (el entero junto al anteperíodo). En el denominador escribimos tantos nueves ($9$) como cifras tenga la barra del período, seguidos a la derecha de tantos ceros ($0$) como cifras tenga el anteperíodo, simplificando finalmente el resultado.
Explicación formal
Dado un número decimal semiperiódico $d = a_0, c_1 \dots c_m \overline{p_1 \dots p_k}$ con anteperíodo de longitud $m \in \mathbb{N}$ y período de longitud $k \in \mathbb{N}$, su Fracción Generatriz Semiperiódica se define mediante:
$$d = \frac{N - NP}{\underbrace{99\dots9}_{k \text{ nueves}} \underbrace{00\dots0}_{m \text{ ceros}}} = \frac{a_0 c_1 \dots c_m p_1 \dots p_k - a_0 c_1 \dots c_m}{10^m (10^k - 1)}$$
Desglose formal de la fórmula:
- $N$: Número entero formado al omitir la coma decimal y la barra del período.
- $NP$: Parte no periódica (entero formado por la parte entera y el anteperíodo $a_0 c_1 \dots c_m$).
- $k$ nueves: Cantidad de dígitos bajo la barra del período.
- $m$ ceros: Cantidad de dígitos del anteperíodo ubicados entre la coma y el período.
Fundamento algebraico: Multiplicando $10^{m+k} \cdot d - 10^m \cdot d$, se anula la cola periódica infinita: $10^m(10^k - 1) \cdot d = N - NP$, obteniendo el denominador compuesto $99\dots900\dots0$.
La alternativa correcta es 'Tantos 9s como cifras tenga el período seguidos de tantos 0s como cifras tenga el anteperíodo'.
Definiciones clave
- Fracción generatriz semiperiódica: Razón $\frac{N - NP}{9\dots90\dots0}$ simplificada a su expresión irreductible.
- Anteperíodo ($c_1 \dots c_m$): Bloque no repetitivo situado exclusivamente entre la coma y el período.
- Denominador mixto: Estructura de nueves seguidos obligatoriamente de ceros a la derecha.
Propiedades y relaciones importantes
- Estructura Mixta del Denominador: Los $9$ provienen del período ($10^k-1$) y los $0$ provienen del anteperíodo ($10^m$).
- Orden estricto: Los nueves se sitúan SIEMPRE a la izquierda y los ceros a la derecha en el denominador.
Ejemplo guiado
Convierta el decimal semiperiódico $0,1\overline{6}$ a fracción irreductible.
- Paso 1: Identificar el número sin coma ni barra: $N = 16$.
- Paso 2: Identificar la parte no periódica (entero + anteperíodo): $NP = 1$.
- Paso 3: Restar en el numerador: $N - NP = 16 - 1 = 15$.
- Paso 4: Construir el denominador: $1$ cifra bajo la barra (un $9$) y $1$ cifra en anteperíodo (un $0$) $\implies 90$.
- Paso 5: Formar la fracción generatriz: $\frac{15}{90}$.
- Paso 6: Simplificar dividiendo numerador y denominador entre $15$: $$ rac{15 : 15}{90 : 15} = rac{1}{6}$$
- Conclusión: $0,1\overline{6} = \frac{1}{6}$.
La alternativa correcta es '$\frac{1}{6}$'.
Procedimiento
- Paso 1: Restar en el numerador el número completo sin coma ni barra menos la parte no periódica ($N - NP$).
- Paso 2: Construir el denominador escribiendo tantos 9s como cifras tenga el período seguidos de tantos 0s como cifras tenga el anteperíodo.
- Paso 3: Simplificar la fracción resultante hasta su forma irreductible.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Restar solo la parte entera en lugar de toda la parte no periódica. Cómo corregirlo: Se DEBE restar la parte entera JUNTO al anteperíodo ($NP = a_0 c_1 \dots c_m$).
- Error 2: Invertir el orden de nueves y ceros en el denominador (poner ceros antes que nueves). Cómo corregirlo: Los nueves van SIEMPRE primero a la izquierda y los ceros van después a la derecha ($99\dots00$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Numerador: $46 - 4 = 42$. Denominador: $90$. Fracción: $\frac{42}{90} = \frac{7}{15}$ tras simplificar por 6.
- Numerador: $123 - 12 = 111$. Denominador: $90 \implies \frac{111}{90} = \frac{37}{30}$ tras simplificar por 3.
- Sí, $\frac{5 - 0}{90} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$.
- Sí, la estructura es estrictamente $99\dots00$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Convertir cualquier número decimal infinito semiperiódico a su fracción generatriz irreductible.
Restando en el numerador el número completo sin coma ni barra menos la parte no periódica ($N - NP$), y estructurando el denominador con tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo ($99\dots9_k 00\dots0_m$), simplificando hasta la fracción irreductible.