Conversión de decimal periódico a fracción
Convertir un decimal periódico puro a fracción usando el método algebraico de restar múltiplos de 10.
Introducción
Un decimal periódico no puede escribirse como fracción con denominador potencia de 10; se necesita un método algebraico que aproveche que, al multiplicar por la potencia de 10 adecuada, el período "se alinea" y se cancela al restar.
Explicación
Definición formal
Si \(x=0.\overline{c_1\ldots c_k}\), entonces \(10^k x = c_1\ldots c_k.\overline{c_1\ldots c_k}\); al restar \(10^k x - x\) el período se cancela, quedando \((10^k-1)x=c_1\ldots c_k\), de donde \(x=\frac{c_1\ldots c_k}{10^k-1}\).
Desarrollo didáctico
Si \(x=0.\overline{3}\), se multiplica por \(10\): \(10x=3.\overline{3}\); al restar, \(10x-x=3\), es decir \(9x=3\), por lo tanto \(x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Llama \(x\) al decimal e identifica la longitud de su período.
- Paso 2: Multiplica por la potencia de diez que desplaza un período y resta la ecuación original.
- Paso 3: Despeja \(x\), simplifica la fracción y verifica su expansión decimal.
Ejemplos
1 Si \(x=0.\overline{3}\), entonces \(10x-x=3\) y \(x=\frac{1}{3}\).
- Llama \(x\) al decimal e identifica la longitud de su período.
- Multiplica por la potencia de diez que desplaza un período y resta la ecuación original.
- Despeja \(x\), simplifica la fracción y verifica su expansión decimal.
2 Una solución aplica “Multiplica por la potencia de diez que desplaza un período y resta la ecuación original.”, pero termina sin comprobar que la repetición del período permite eliminar la parte decimal mediante una resta. Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define conversión de decimal periódico a fracción: un decimal periódico puro puede convertirse a fracción usando una igualdad algebraica y restando el período.
- Llama \(x\) al decimal e identifica la longitud de su período.
- Completa la revisión con este control: Despeja \(x\), simplifica la fracción y verifica su expansión decimal.
3 ¿Se cumple que la repetición del período permite eliminar la parte decimal mediante una resta? — Conversión de decimal periódico a fracción
- Sí. La definición pertinente establece que un decimal periódico puro puede convertirse a fracción usando una igualdad algebraica y restando el período.
- El caso “Si \(x=0.\overline{3}\), entonces \(10x-x=3\) y \(x=\frac{1}{3}\)” satisface esa condición.
- Despeja \(x\), simplifica la fracción y verifica su expansión decimal.
4 ¿Es válido omitir el paso “Llama \(x\) al decimal e identifica la longitud de su período”? — Conversión de decimal periódico a fracción
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de conversión de decimal periódico a fracción.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Multiplica por la potencia de diez que desplaza un período y resta la ecuación original.
- La solución debe terminar de este modo: Despeja \(x\), simplifica la fracción y verifica su expansión decimal.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Empezar conversión de decimal periódico a fracción sin realizar este control inicial: Llama \(x\) al decimal e identifica la longitud de su período."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Memorizar “Si \(x=0.\overline{3}\), entonces \(10x-x=3\) y \(x=\frac{1}{3}\)” como respuesta aislada, sin reconstruir la definición que lo justifica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Convertir en receta el paso “Multiplica por la potencia de diez que desplaza un período y resta la ecuación original.” y usarlo aunque cambien las condiciones del problema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dar por válida una conclusión sobre conversión de decimal periódico a fracción que contradice el criterio “La repetición del período permite eliminar la parte decimal mediante una resta”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cerrar el ejercicio sin esta comprobación específica: Despeja \(x\), simplifica la fracción y verifica su expansión decimal."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para convertir un decimal periódico puro a fracción se plantea \(x\) igual al decimal, se multiplica por \(10^k\) (con \(k\) igual a la cantidad de cifras del período) y se resta \(x\) para eliminar la parte periódica.