Conversión de decimal periódico a fracción
Resumen inicial
Para convertir un decimal periódico puro a fracción, el numerador es la resta del número sin coma ni barra menos la parte entera, y el denominador contiene tantos 9s como cifras tenga el período.
Explicación en palabras simples
Para transformar un decimal periódico puro (donde el período con barra inicia inmediatamente tras la coma) a fracción, restamos en el numerador el número completo sin coma menos la parte entera. En el denominador colocamos tantos nueves ($9$) como cifras tenga la barra del período, y finalmente simplificamos.
Explicación formal
Dado un número decimal periódico puro $d = a_0, \overline{p_1 p_2 \dots p_k}$, su Fracción Generatriz Periódica Pura se calcula mediante la fórmula:
$$d = \frac{N - A}{\underbrace{99\dots9}_{k \text{ nueves}}} = \frac{a_0 p_1 p_2 \dots p_k - a_0}{10^k - 1}$$
Desglose formal de la fórmula:
- $N = a_0 p_1 \dots p_k \in \mathbb{Z}$: Entero obtenido al suprimir la coma y la barra del período.
- $A = a_0 \in \mathbb{Z}$: Parte entera del número decimal.
- $99\dots9_k = 10^k - 1$: Denominador compuesto exclusivamente por $k$ nueves, donde $k$ es la longitud del período.
Fundamento algebraico: Al plantear $10^k \cdot d - d = (N + 0,\overline{P}) - (A + 0,\overline{P}) = N - A$, la parte decimal periódica infinita se cancela exactamente, despejando $d = \frac{N-A}{10^k - 1}$.
La alternativa correcta es 'Con tantos nueves como cifras tenga el período (9, 99, 999...)'.
Definiciones clave
- Fracción generatriz de decimal periódico puro: Fórmula $\frac{N - A}{99\dots9_k}$ simplificada a su expresión irreductible.
- Período decimal ($p_1 \dots p_k$): Bloque finito de cifras que se repite indefinidamente comenzando inmediatamente tras la coma.
- Denominador repunit de base 9: Cadena de dígitos $9$ ($9, 99, 999, \dots$) que cancela la infinitud periódica.
Propiedades y relaciones importantes
- Eliminación de la infinitud: Transforma un desarrollo decimal infinito repetitivo en una razón exacta de dos números enteros.
- Ausencia de ceros en el denominador: Un decimal periódico puro nunca lleva ceros en el denominador de su fracción generatriz básica.
Ejemplo guiado
Convierta el decimal periódico puro $1,\overline{36}$ a fracción irreductible.
- Paso 1: Identificar el número sin coma ni barra: $N = 136$.
- Paso 2: Identificar la parte entera a restar: $A = 1$.
- Paso 3: Calcular el numerador: $N - A = 136 - 1 = 135$.
- Paso 4: Contar las cifras del período $\overline{36}$: $k = 2$ cifras $\implies$ denominador $99$.
- Paso 5: Formar la fracción generatriz: $\frac{135}{99}$.
- Paso 6: Simplificar dividiendo numerador y denominador entre $9$: $$\frac{135 : 9}{99 : 9} = \frac{15}{11}$$
- Conclusión: $1,\overline{36} = \frac{15}{11}$.
La alternativa correcta es '$\frac{15}{11}$'.
Procedimiento
- Paso 1: Restar en el numerador el número completo sin coma ni barra menos la parte entera ($N - A$).
- Paso 2: Escribir en el denominador una cadena de nueves igual a la cantidad de dígitos bajo la barra periódica ($99\dots9$).
- Paso 3: Simplificar la fracción hasta obtener su forma irreductible.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Olvidar restar la parte entera en el numerador (ej: escribir $\frac{136}{99}$ en vez de $\frac{135}{99}$). Cómo corregirlo: Se DEBE restar obligatoriamente la parte entera $A$ de todo el número $N$.
- Error 2: Usar ceros o potencias de 10 en el denominador de un periódico puro. Cómo corregirlo: Si no existe anteperíodo, el denominador lleva ÚNICAMENTE nueves (sin ceros).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $\frac{7 - 0}{9} = \frac{7}{9}$.
- $\frac{45 - 0}{99} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$ tras simplificar por 9.
- Sí, $\frac{3 - 0}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
- Sí, $\frac{9 - 0}{9} = \frac{9}{9} = 1$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Convertir cualquier número decimal infinito periódico puro a su fracción generatriz irreductible.
Restando en el numerador el número completo sin coma ni barra menos la parte entera ($N - A$), y disponiendo en el denominador una cadena de tantos nueves como cifras tenga el período ($99\dots9_k$), simplificando la fracción hasta su forma irreductible.