Conversión de decimal finito a fracción
Resumen inicial
Para convertir un decimal finito a fracción, se escribe en el numerador el número completo sin coma y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales.
Explicación en palabras simples
Para transformar un número decimal finito a fracción, escribimos en la parte superior (numerador) el número completo sin la coma. En la parte inferior (denominador) colocamos un $1$ seguido de tantos ceros como dígitos haya después de la coma. Finalmente, simplificamos la fracción dividiendo numerador y denominador entre su máximo común divisor.
Explicación formal
Sea el número decimal finito $d = a_0, a_1 a_2 \dots a_k$ con $k \in \mathbb{N}$ cifras decimales en su mantisa, su Fracción Generatriz Finita se define mediante:
$$d = \frac{N}{10^k} = \frac{a_0 a_1 a_2 \dots a_k}{10^k}$$
Desglose formal de la fórmula:
- $N = a_0 a_1 a_2 \dots a_k \in \mathbb{Z}$: Entero resultante al suprimir la coma decimal.
- $10^k$: Denominador potencia de diez con exactamente $k$ ceros, donde $k$ es el número de cifras decimales.
- Forma irreductible: La fracción generatriz se reduce dividiendo numerador y denominador por $\operatorname{MCD}(N, 10^k)$.
Complemento didáctico: El denominador de la fracción irreductible resultante solo contendrá factores primos del conjunto $\{2, 5\}$.
La alternativa correcta es 'Una potencia de 10 (10, 100, 1000...) con tantos ceros como cifras decimales tenga el número'.
Definiciones clave
- Fracción generatriz finita: Fracción $\frac{N}{10^k}$ equivalente al número decimal finito.
- Mantisa decimal finita: Conjunto acotado de cifras ubicadas a la derecha de la coma.
- Simplificación canónica: Reducción de la fracción dividiendo por $\operatorname{MCD}(N, 10^k)$ hasta obtener una fracción irreductible.
Propiedades y relaciones importantes
- Equivalencia posicional: Refleja la suma de fracciones decimales $a_0 + \frac{a_1}{10} + \frac{a_2}{100} + \dots + \frac{a_k}{10^k}$.
- Unicidad de la fracción irreductible: Todo decimal finito posee una única representación simplificada $\frac{a}{b}$ con $\operatorname{MCD}(a,b)=1$.
Ejemplo guiado
Convierta el número decimal finito $2,75$ a fracción irreductible.
- Paso 1: Escribir el numerador suprimiendo la coma: $N = 275$.
- Paso 2: Contar las cifras decimales: $2,75$ tiene $2$ cifras decimales $\implies$ denominador $10^2 = 100$.
- Paso 3: Formar la fracción generatriz: $\frac{275}{100}$.
- Paso 4: Simplificar dividiendo numerador y denominador entre $\operatorname{MCD}(275, 100) = 25$: $$\frac{275 : 25}{100 : 25} = \frac{11}{4}$$
- Conclusión: $2,75 = \frac{11}{4}$ (equivalente al número mixto $2 \frac{3}{4}$).
La alternativa correcta es '$\frac{11}{4}$'.
Procedimiento
- Paso 1: Escribir como numerador el número decimal completo sin la coma.
- Paso 2: Escribir como denominador un $1$ seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número original.
- Paso 3: Simplificar la fracción dividiendo entre el máximo común divisor hasta obtener su expresión irreductible.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Poner nueves en el denominador de un decimal finito. Cómo corregirlo: Los nueves se utilizan en decimales PERIÓDICOS; los decimales finitos emplean exclusivamente potencias de $10$ ($10, 100, 1000$).
- Error 2: Omitir la simplificación de la fracción. Cómo corregirlo: Se debe simplificar siempre la fracción dividiendo por el $\operatorname{MCD}(N, 10^k)$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
- $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$ tras simplificar por 125.
- Sí, $0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
- Sí, $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Convertir cualquier número decimal finito a su fracción generatriz irreductible.
Disponiendo en el numerador el número completo sin coma ($N$) y en el denominador la potencia de diez $10^k$ (con tantos ceros como cifras decimales posea el número), simplificando la fracción resultante por el $\operatorname{MCD}(N, 10^k)$.