Comparación de fracciones mediante producto cruzado
Comparar dos fracciones sin buscar un denominador común, usando productos cruzados.
Introducción
Existe un atajo para comparar fracciones con distinto denominador que evita calcular el mínimo común múltiplo: comparar directamente los productos cruzados de sus términos.
Explicación
Definición formal
Si \(b,d>0\), \(\frac{a}{b}>\frac{c}{d} \iff a\cdot d>b\cdot c\), pues equivale a amplificar ambas fracciones al denominador común \(b\cdot d\) y comparar los numeradores resultantes.
Desarrollo didáctico
Para comparar \(\frac{4}{7}\) y \(\frac{5}{9}\), se comparan \(4\cdot9=36\) y \(5\cdot7=35\). Como \(36>35\), el producto asociado a \(\frac{4}{7}\) es mayor, por lo tanto \(\frac{4}{7}>\frac{5}{9}\).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Comprueba que los denominadores sean positivos; si no, normaliza los signos.
- Paso 2: Calcula los productos cruzados \(a\cdot d\) y \(c\cdot b\).
- Paso 3: Compara esos productos para establecer el orden entre \(a/b\) y \(c/d\).
Ejemplos
1 Para comparar \(\frac{4}{7}\) y \(\frac{5}{9}\), se comparan \(4\cdot 9\) y \(5\cdot 7\).
- Comprueba que los denominadores sean positivos; si no, normaliza los signos.
- Calcula los productos cruzados \(a\cdot d\) y \(c\cdot b\).
- Compara esos productos para establecer el orden entre \(a/b\) y \(c/d\).
2 Una solución aplica “Calcula los productos cruzados \(a\cdot d\) y \(c\cdot b\).”, pero termina sin comprobar que si \(a\cdot d > b\cdot c\), entonces \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\) con denominadores positivos. Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define comparación de fracciones mediante producto cruzado: el producto cruzado permite comparar dos fracciones sin calcular decimales, multiplicando cada numerador por el denominador opuesto.
- Comprueba que los denominadores sean positivos; si no, normaliza los signos.
- Completa la revisión con este control: Compara esos productos para establecer el orden entre \(a/b\) y \(c/d\).
3 ¿Se cumple que si \(a\cdot d > b\cdot c\), entonces \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\) con denominadores positivos? — Comparación de fracciones mediante producto cruzado
- Sí. La definición pertinente establece que el producto cruzado permite comparar dos fracciones sin calcular decimales, multiplicando cada numerador por el denominador opuesto.
- El caso “Para comparar \(\frac{4}{7}\) y \(\frac{5}{9}\), se comparan \(4\cdot 9\) y \(5\cdot 7\)” satisface esa condición.
- Compara esos productos para establecer el orden entre \(a/b\) y \(c/d\).
4 ¿Es válido omitir el paso “Comprueba que los denominadores sean positivos; si no, normaliza los signos”? — Comparación de fracciones mediante producto cruzado
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de comparación de fracciones mediante producto cruzado.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Calcula los productos cruzados \(a\cdot d\) y \(c\cdot b\).
- La solución debe terminar de este modo: Compara esos productos para establecer el orden entre \(a/b\) y \(c/d\).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Empezar comparación de fracciones mediante producto cruzado sin realizar este control inicial: Comprueba que los denominadores sean positivos; si no, normaliza los signos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Memorizar “Para comparar \(\frac{4}{7}\) y \(\frac{5}{9}\), se comparan \(4\cdot 9\) y \(5\cdot 7\)” como respuesta aislada, sin reconstruir la definición que lo justifica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Convertir en receta el paso “Calcula los productos cruzados \(a\cdot d\) y \(c\cdot b\).” y usarlo aunque cambien las condiciones del problema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dar por válida una conclusión sobre comparación de fracciones mediante producto cruzado que contradice el criterio “Si \(a\cdot d > b\cdot c\), entonces \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\) con denominadores positivos”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cerrar el ejercicio sin esta comprobación específica: Compara esos productos para establecer el orden entre \(a/b\) y \(c/d\)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para comparar \(\frac{a}{b}\) con \(\frac{c}{d}\) (con \(b,d>0\)) se comparan los productos cruzados \(a\cdot d\) y \(b\cdot c\): la fracción asociada al producto mayor es la fracción mayor.