Comparación de fracciones mediante producto cruzado
Resumen inicial
Para comparar dos fracciones $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ con denominadores positivos, se efectúan los productos cruzados: $\frac{a}{b} > \frac{c}{d} \iff a \cdot d > b \cdot c$.
Explicación en palabras simples
El método del producto cruzado es un truco rápido para comparar dos fracciones sin necesidad de buscar el m.c.m. Multiplicamos el numerador de la izquierda por el denominador de la derecha ($a \cdot d$) y el denominador de la izquierda por el numerador de la derecha ($b \cdot c$); la fracción cuyo producto cruzado sea mayor será la fracción mayor.
Explicación formal
Para dos fracciones $\frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in \mathbb{Q}$ con denominadores positivos $b, d > 0$, el Criterio de Producto Cruzado establece:
$$\frac{a}{b} > \frac{c}{d} \iff a \cdot d > b \cdot c$$
$$\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \iff a \cdot d < b \cdot c$$
Desglose de la fórmula:
- $a \cdot d$: Producto del numerador de la izquierda por el denominador opuesto.
- $b \cdot c$: Producto del denominador de la izquierda por el numerador opuesto.
- Preservación del orden: Válido al garantizar que $b \cdot d > 0$.
Complemento didáctico: Es el método algebraico más eficiente para comparar rápidamente dos fracciones en preguntas de selección múltiple.
La alternativa correcta es 'a/b > c/d'.
Definiciones clave
- Criterio de comparación cruzada: Algoritmo de decisión de orden basado en las desigualdades de los enteros $a \cdot d$ y $b \cdot c$.
Propiedades y relaciones importantes
- Criterio directo de desigualdad: Preserva los signos de orden sin necesidad de calcular denominadores comunes.
Ejemplo guiado
Compare las fracciones $\frac{5}{8}$ y $\frac{4}{7}$ utilizando la prueba del producto cruzado.
- Paso 1: Calcular el primer producto cruzado (numerador izquierdo $\cdot$ denominador derecho): $5 \cdot 7 = 35$.
- Paso 2: Calcular el segundo producto cruzado (denominador izquierdo $\cdot$ numerador derecho): $8 \cdot 4 = 32$.
- Paso 3: Comparar ambos productos obtenidos: $35 > 32$.
- Conclusión: Como $35 > 32$, se deduce directamente que $\frac{5}{8} > \frac{4}{7}$.
La alternativa correcta es '35 y 32, resultando 5/8 > 4/7'.
Procedimiento
- Paso 1: Multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda ($a \cdot d$).
- Paso 2: Multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda ($b \cdot c$).
- Paso 3: Asignar el signo de relación entre los productos enteros $a \cdot d$ y $b \cdot c$ a las fracciones originales.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
-
Error 1: Asignar el producto $a \cdot d$ a la fracción de la derecha. Cómo corregirlo: El producto $a \cdot d$ corresponde SIEMPRE al lado de la primera fracción $\frac{a}{b}$.
-
Error 2: Aplicar el producto cruzado con denominadores negativos sin corregir los signos. Cómo corregirlo: Garantizar que los denominadores sean positivos antes de multiplicar en cruz.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $3 \cdot 8 = 24$ y $5 \cdot 5 = 25$. Como $24 < 25 \implies 3/5 < 5/8$.
- $7 \cdot 3 = 21$ y $10 \cdot 2 = 20$. Como $21 > 20 \implies 7/10 > 2/3$.
- Sí, es un algoritmo directo mediante dos multiplicaciones de enteros.
- Sí, $4 \cdot 7 = 28$ y $9 \cdot 3 = 27$. Como $28 > 27 \implies 4/9 > 3/7$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Determinar con máxima rapidez el orden relativo entre dos fracciones cualesquiera sin calcular decimales ni el MCM.
Evaluando los productos $a \cdot d$ y $b \cdot c$ ($b, d > 0$) y aplicando el teorema $\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \iff a \cdot d < b \cdot c$ trasladando previamente cualquier signo negativo al numerador.