Comparación de fracciones de igual numerador
Resumen inicial
Para comparar fracciones positivas con el mismo numerador, es mayor la que tenga el MENOR denominador: $\frac{a}{b} > \frac{a}{c} \iff b < c$ (con $a, b, c > 0$).
Explicación en palabras simples
Cuando dos fracciones positivas tienen exactamente el mismo número en el numerador, estamos tomando la misma cantidad de partes. Sin embargo, la fracción con el número de abajo más pequeño cortó el entero en menos pedazos, por lo que cada pedazo es más grande y la fracción resultará ser mayor.
Explicación formal
Dadas dos fracciones positivas $\frac{a}{b}, \frac{a}{c} \in \mathbb{Q}^+$ con numerador común $a > 0$, la Regla de Inversión Denominadora establece la relación de orden inverso:
$$\frac{a}{b} > \frac{a}{c} \iff b < c$$
Desglose de la fórmula:
- $a > 0$: Numerador positivo constante.
- $b < c$: Denominador menor que implica divisiones de la unidad de mayor dimensión fraccionaria ($\frac{1}{b} > \frac{1}{c}$).
Complemento didáctico: Si dividimos una pizza en 2 partes (medios), cada trozo es mayor que si la dividimos en 8 partes (octavos); por eso $\frac{1}{2} > \frac{1}{8}$.
La alternativa correcta es 'La que tiene el MENOR denominador'.
Definiciones clave
- Comparación de fracciones con igual numerador: Criterio donde la magnitud es inversamente proporcional al tamaño del denominador.
Propiedades y relaciones importantes
- Relación inversa: A mayor denominador, menor es el valor de la fracción para numeradores positivos.
Ejemplo guiado
Compare las fracciones $\frac{5}{6}$ y $\frac{5}{12}$ indicando cuál es la fracción de mayor valor.
- Paso 1: Observar los numeradores: ambos son iguales a $5$ (numerador constante positivo).
- Paso 2: Comparar los denominadores: $6$ y $12$.
- Paso 3: Aplicar el criterio de inversión: como $6 < 12$, los sextos son piezas más grandes que los doceavos.
- Conclusión: La fracción de menor denominador es la mayor: $\frac{5}{6} > \frac{5}{12}$.
La alternativa correcta es '5/6, porque su denominador 6 es menor que 12'.
Procedimiento
- Paso 1: Verificar que los numeradores de las fracciones positivas sean idénticos.
- Paso 2: Comparar los denominadores de ambas fracciones.
- Paso 3: Declarar mayor a la fracción que tenga el denominador más pequeño.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Creer que la fracción con mayor denominador es la mayor. Cómo corregirlo: En numeradores iguales positivos, mayor denominador implica cortes más pequeños ($\frac{1}{2} > \frac{1}{100}$).
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Error 2: Aplicar la regla inversa sin verificar que el numerador sea positivo constante. Cómo corregirlo: La regla exige que los numeradores sean idénticos.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Denominadores: $9 > 7 > 3 \implies$ orden de fracciones: $4/9 < 4/7 < 4/3$.
- $5 > 3 \implies 2/5 < 2/3$.
- Sí, los cuartos son trozos mayores que los octavos.
- No, $10 > 5 \implies 3/10 < 3/5$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Comparar fracciones con numeradores idénticos mediante la ley de partición inversa.
Aplicando el teorema $\frac{k}{b} > \frac{k}{c} \iff b < c$ para $k > 0$ y $b, c > 0$, reconociendo que a menor denominador cada porción unitaria es de mayor magnitud geométrica.