Comparación de fracciones de distinto denominador
Resumen inicial
Para comparar fracciones con distinto denominador se amplifican a un denominador común (vía m.c.m.) y se comparan sus nuevos numeradores.
Explicación en palabras simples
Si dos fracciones tienen numeradores y denominadores completamente diferentes, no podemos compararlas directamente porque representan partes de distinto tamaño. La estrategia consiste en amplificar ambas fracciones hasta lograr que tengan el mismo número en el denominador, para luego comparar fácilmente sus numeradores.
Explicación formal
Para comparar $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ con $b \neq d$, se homogenizan mediante el mínimo común múltiplo de los denominadores $M = \operatorname{mcm}(b, d)$:
$$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot (M/b)}{M}, \quad \frac{c}{d} = \frac{c \cdot (M/d)}{M} \implies \frac{a}{b} > \frac{c}{d} \iff a \cdot \left(\frac{M}{b}\right) > c \cdot \left(\frac{M}{d}\right)$$
Desglose de la fórmula:
- $M = \operatorname{mcm}(b, d)$: Denominador común mínimo que homogeniza las unidades fraccionarias.
- Comparación homogénea: Reduce el problema al caso de igual denominador.
Complemento didáctico: Al igualar los denominadores estamos redividiendo los enteros en partes de exactamente la misma escala de medida.
La alternativa correcta es 'Homogenizar las fracciones a un denominador común (mediante el m.c.m.)'.
Definiciones clave
- Homogenización de fracciones: Algoritmo que amplifica fracciones a un denominador común $M = \operatorname{mcm}(b, d)$.
Propiedades y relaciones importantes
- Invarianza de orden por homogenización: Reserva las relaciones $<$ o $>$ al transformar a denominadores comunes.
Ejemplo guiado
Compare las fracciones $\frac{3}{4}$ y $\frac{5}{6}$ homogenizándolas al mínimo común denominador.
- Paso 1: Hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores $4$ y $6$: $\operatorname{mcm}(4, 6) = 12$.
- Paso 2: Amplificar $\frac{3}{4}$ por $3$: $\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$.
- Paso 3: Amplificar $\frac{5}{6}$ por $2$: $\frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}$.
- Paso 4: Comparar los nuevos numeradores homogéneos: $9 < 10 \implies \frac{9}{12} < \frac{10}{12}$.
- Conclusión: $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$.
La alternativa correcta es '3/4 < 5/6 (porque 9/12 < 10/12)'.
Procedimiento
- Paso 1: Calcular el m.c.m. de los denominadores diferentes.
- Paso 2: Amplificar cada fracción para que todas tengan el m.c.m. como denominador común.
- Paso 3: Comparar los numeradores resultantes para determinar el orden de las fracciones.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
-
Error 1: Comparar numeradores directamente sin igualar denominadores primero. Cómo corregirlo: Se DEBE homogenizar denominadores antes de comparar numeradores.
-
Error 2: Olvidar amplificar el numerador al cambiar el denominador. Cómo corregirlo: Si se multiplica el denominador por $k$, el numerador DEBE multiplicarse por la misma cifra $k$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- mcm(3,5) = 15. Amplificados: $2/3 = 10/15$ y $3/5 = 9/15$. Como $10 > 9 \implies 2/3 > 3/5$.
- $1/2 = 4/8$. Como $4/8 > 3/8$, entonces $1/2 > 3/8$.
- Sí, es el método universal para ordenar listas de fracciones de distinto denominador.
- Sí, $\operatorname{mcm}(6,9)=18 \implies 5/6 = 15/18$ y $7/9 = 14/18$. $15/18 > 14/18$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Comparar y ordenar conjuntos de tres o más fracciones heterogéneas.
Calculando el mínimo común múltiplo $M = \text{mcm}(d_1, d_2, \dots, d_n)$, amplificando cada fracción por su factor $k_i = M / d_i$ y comparando la lista resultante de numeradores homogéneos.