Identificación del período decimal
Resumen inicial
El período es la secuencia finita de dígitos decimales que se repite infinitas veces en un decimal periódico o semiperiódico.
Explicación en palabras simples
El período es exactamente esa cifra o grupo de cifras que se repite sin parar en la parte decimal de un número. Para identificarlo rápidamente, basta con mirar qué números están cubiertos justo debajo de la barra horizontal.
Explicación formal
Sea la expansión decimal $d = a_0, \dots \overline{p_1 p_2 \dots p_k}$, el Período $\mathcal{P}$ es la secuencia finita minimal de dígitos:
$$\mathcal{P} = (p_1, p_2, \dots, p_k) \quad \text{tal que } \forall n \ge N, \, d_{n + k} = d_n$$
Desglose de la fórmula:
- $k$: Longitud de la secuencia minimal periódica.
- Identificación gráfica: Corresponde a las cifras colocadas debajo de la barra de repetición $\overline{P}$.
Complemento didáctico: En $0,1232323... = 0,1\overline{23}$, la secuencia minimal que se repite es $23$, por lo tanto el período es el número $23$ (de longitud 2).
La alternativa correcta es 'El período (el bloque de cifras que se repite infinitas veces)'.
Definiciones clave
- Período decimal: Grupo mínimo de cifras decimales que se reitera infinitas veces en forma cíclica.
Propiedades y relaciones importantes
- Extensión infalible: Determina el número de 9s en el denominador de la fracción generatriz.
Ejemplo guiado
Identifique el período y su longitud en el número $5,1234234234... = 5,1\overline{234}$.
- Paso 1: Ubicar la barra de repetición: está sobre las cifras $234$.
- Paso 2: Extraer el bloque de dígitos que se reitera infinitas veces: $234$.
- Paso 3: Contar cuántos dígitos forman el bloque: $3$ dígitos ($2$, $3$ y $4$).
- Conclusión: El período es $234$ y su longitud es de $3$ cifras.
La alternativa correcta es '3 cifras (el bloque 234)'.
Procedimiento
- Paso 1: Localizar la parte decimal repetitiva.
- Paso 2: Aislar el bloque minimal de cifras consecutivas que se itera en la expansión.
- Paso 3: Registrar el valor numérico del período y contar la cantidad de cifras de su barra.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Confundir la longitud del período con la de toda la parte decimal. Cómo corregirlo: La longitud del período solo cuenta las cifras situadas DEBAJO DE LA BARRA.
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Error 2: Incluir el anteperíodo dentro del período. Cómo corregirlo: El anteperíodo NO lleva barra y se encuentra antes del período.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Solo la cifra $3$ lleva la barra periódica $\implies$ período $3$.
- Las cifras bajo la barra son $09$, por ende el período es $09$.
- Sí, las cifras que se reiteran infinitamente son $75$.
- No, los decimales finitos no tienen período ni barra de repetición.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Identificar con precisión el período decimal y su longitud $k$ en expresiones decimales periódicas.
Aislando el bloque mínimo de cifras consecutivas que se reproduce indefinidamente bajo la barra superior, deduciendo que su longitud $k$ determina exactamente la cantidad de nueves ($99\dots9$) en el denominador de la fracción generatriz.