Identificación de decimal infinito semiperiódico
Resumen inicial
Un decimal infinito semiperiódico posee una parte no repetitiva (anteperíodo) entre la coma y el comienzo del bloque repetitivo (período): $a_0, a_1 \dots a_m \overline{p_1 \dots p_k}$.
Explicación en palabras simples
Un decimal semiperiódico es un número decimal infinito donde después de la coma hay algunos números que NO se repiten (llamados anteperíodo), y luego viene un grupo de números que SÍ se repiten para siempre con barra (llamados período).
Explicación formal
Un racional $d \in \mathbb{Q}$ es un Decimal Infinito Semiperiódico si su desarrollo adopta la forma:
$$d = a_0, c_1 c_2 \dots c_m \overline{p_1 p_2 \dots p_k}$$
Desglose de la fórmula:
- $c_1 c_2 \dots c_m$: Anteperíodo de $m$ dígitos no repetitivos ubicado inmediatamente tras la coma.
- $\overline{p_1 p_2 \dots p_k}$: Período de $k$ dígitos repetitivos infintamente con barra superior.
- Criterio de fracción irreductible: $\frac{a}{b}$ es semiperiódico $\iff$ el denominador $b$ tiene al menos un factor de $\{2,5\}$ Y al menos un factor ajeno a $\{2,5\}$.
Complemento didáctico: El denominador de su fracción generatriz se compone de nueves (por el período) seguidos de ceros (por el anteperíodo).
La alternativa correcta es 'Un anteperíodo (cifras no repetidas) seguido de un período (cifras repetidas con barra)'.
Definiciones clave
- Decimal infinito semiperiódico: Número con parte decimal mixta compuesta por anteperíodo no repetitivo y período repetitivo con barra.
Propiedades y relaciones importantes
- Estructura Mixta: Combina anteperíodo (cifras fijas) y período (cifras con barra).
Ejemplo guiado
Clasifique el número decimal $0,1666... = 0,1\overline{6}$ e identifique sus partes.
- Paso 1: Analizar los dígitos a la derecha de la coma.
- Paso 2: Identificar el dígito no repetitivo: la cifra $1$ justo tras la coma es el anteperíodo.
- Paso 3: Identificar la cifra repetitiva con barra: la cifra $6$ bajo la barra $\overline{6}$ es el período.
- Conclusión: Es un decimal infinito semiperiódico con anteperíodo $1$ y período $6$.
La alternativa correcta es 'Anteperíodo 1 y Período 6'.
Procedimiento
- Paso 1: Examinar la parte decimal después de la coma.
- Paso 2: Identificar las cifras que no se repiten inmediatamente a la derecha de la coma (anteperíodo).
- Paso 3: Identificar las cifras repetitivas bajo la barra (período) y clasificar como decimal semiperiódico.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Colocar la barra del período sobre el anteperíodo. Cómo corregirlo: La barra DEBE cubrir únicamente los dígitos que se repiten al infinito.
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Error 2: Pensar que el anteperíodo forma parte del número entero. Cómo corregirlo: El anteperíodo se ubica A LA DERECHA de la coma decimal.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Tiene anteperíodo $45$ y período $8 \implies$ semiperiódico.
- $15 = 3 \cdot 5 \implies$ al tener el factor 5 y el factor 3 genera un semiperiódico ($0,4\overline{6}$).
- Sí, anteperíodo $12$ y período $3$.
- No, es periódico puro porque no tiene anteperíodo.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Distinguir y clasificar números decimales infinitos semiperiódicos.
Identificando la presencia de un anteperíodo $a_1 \dots a_m$ situado entre la coma y el período $E.a_1 \dots a_m \overline{p_1 \dots p_k}$, o verificando que el denominador de su fracción irreducible contenga factores de $2$ o $5$ combinados con otros números primos.