Identificación de decimal infinito periódico
Resumen inicial
Un decimal infinito periódico tiene un bloque de cifras (período) que se repite indefinidamente inmediatamente después de la coma: $0,\overline{a_1 a_2 \dots a_p}$.
Explicación en palabras simples
Un decimal infinito periódico es aquel donde uno o más números se repiten exactamente igual y sin parar justo después de la coma. Esta secuencia de números repetidos infinitamente se llama período y se acostumbra a marcar dibujando una barra horizontal sobre ellos.
Explicación formal
Un racional $d \in \mathbb{Q}$ es un Decimal Infinito Periódico si adopta la forma de expansión infinita:
$$d = a_0, \overline{p_1 p_2 \dots p_k} = a_0 + \sum_{m=0}^{\infty} \left( \frac{P}{10^{k \cdot (m+1)}} \right) \quad (P = p_1 p_2 \dots p_k)$$
Desglose de la fórmula:
- $\overline{P} = \overline{p_1 p_2 \dots p_k}$: Bloque de $k$ dígitos denominado período que comienza inmediatamente tras la coma.
- Criterio de fracción irreductible: $\frac{a}{b}$ es periódico puro $\iff \operatorname{MCD}(b, 10) = 1$ (el denominador $b$ no tiene factores primos $2$ ni $5$).
Complemento didáctico: El número de $9$s en el denominador de su fracción generatriz es idéntico a la cantidad de dígitos que contiene la barra del período.
La alternativa correcta es 'Inmediatamente a la derecha de la coma decimal'.
Definiciones clave
- Decimal infinito periódico (puro): Expresión donde la repetición periódica inicia inmediatamente a la derecha de la coma decimal.
Propiedades y relaciones importantes
- Inexistencia de anteperíodo: La barra comienza inmediatamente a la derecha de la coma decimal.
Ejemplo guiado
Clasifique el número decimal $0,4444... = 0,\overline{4}$ e identifique sus características.
- Paso 1: Observar la parte decimal: la cifra $4$ se repite infinitas veces.
- Paso 2: Comprobar dónde inicia la repetición: inicia inmediatamente a la derecha de la coma.
- Paso 3: Identificar el período: la cifra $4$ debajo de la barra $\overline{4}$.
- Conclusión: Es un decimal infinito periódico puro con período $4$.
La alternativa correcta es '4'.
Procedimiento
- Paso 1: Observar la expansión decimal después de la coma.
- Paso 2: Verificar si la secuencia de dígitos repetitivos comienza de forma inmediata sin dígitos intermedios.
- Paso 3: Colocar la barra del período sobre el bloque repetitivo y clasificarlo como decimal periódico.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Confundir decimal periódico puro con semiperiódico. Cómo corregirlo: Si hay cifras decimales no repetidas antes del período, es SEMIPERIÓDICO; si la barra empieza justo en la coma, es PERIÓDICO PURO.
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Error 2: Creer que un decimal periódico es irracional por ser infinito. Cómo corregirlo: Todo decimal periódico es RACIONAL (pertenece a $\mathbb{Q}$) porque se puede transformar a fracción.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $1 : 3 = 0,333... = 0,\overline{3}$ (periódico puro).
- La parte entera $1$ no altera la clasificación de la parte decimal periódica pura.
- Sí, equivale a la fracción $2/3 \in \mathbb{Q}$.
- No, el período $15$ comienza de inmediato tras la coma.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Identificar y caracterizar números decimales infinitos periódicos puros.
Constatando que el bloque de cifras repetitivas comience inmediatamente después de la coma decimal $E.\overline{p_1 \dots p_k}$, o comprobando que en su fracción irreducible $\frac{a}{b}$ el denominador no contenga los factores primos $2$ ni $5$ ($\text{mcd}(b, 10) = 1$).