Aproximación por truncamiento
Resumen inicial
El truncamiento aproxima un número eliminando o 'cortando' directamente las cifras decimales a partir de la posición indicada sin considerar su valor.
Explicación en palabras simples
Truncar un número decimal es como usar una tijera para cortar todas las cifras que están después de la posición deseada. No importa si los números que eliminamos son grandes (como $7, 8$ o $9$), la última cifra que conservamos NUNCA cambia ni se le suma $1$.
Explicación formal
Dado un número real $x \in \mathbb{R}$ con desarrollo decimal $x = \operatorname{sgn}(x) \cdot (a_0 + \sum_{i=1}^{\infty} a_i \cdot 10^{-i})$, el Truncamiento a $k$ decimales $x_{\text{trunc}}$ se define mediante:
$$x_{\text{trunc}} = \operatorname{sgn}(x) \cdot \frac{\lfloor |x| \cdot 10^k \rfloor}{10^k}$$
Desglose formal de la operación:
- Acción de corte: Suprime los términos $\sum_{i=k+1}^{\infty} a_i \cdot 10^{-i}$ de forma estricta.
- Invarianza de dígitos retenidos: Los primeros $k$ dígitos tras la coma permanecen estrictamente idénticos a los del número original.
- Independencia de magnitud: El valor del dígito $a_{k+1}$ no tiene ningún impacto en el resultado.
Complemento didáctico: Para números positivos, el truncamiento y la aproximación por defecto son exactamente la misma operación aritmética.
La alternativa correcta es 'Permanece exactamente igual sin importar los dígitos posteriores'.
Definiciones clave
- Truncamiento a $k$ decimales: Supresión de todas las cifras decimales posteriores a la posición $k$.
- Corte posicional: Operación directa que preserva las cifras decimales sin efectuar redondeo.
- Función parte entera escalada: $\frac{\lfloor x \cdot 10^k \rfloor}{10^k}$ que formaliza el corte en $\mathbb{R}^+$.
Propiedades y relaciones importantes
- Coincidencia con defecto en $\mathbb{R}^+$: $x_{\text{trunc}} = x_{\text{def}}$ para todo $x \ge 0$.
- Simplicidad computacional: No requiere evaluación condicional de dígitos descartados.
Ejemplo guiado
Trunque el número $4,589$ a la décima y a la centésima.
- Paso 1: A la décima ($k=1$): Conservar hasta la primera cifra tras la coma ($5$) y cortar todo lo demás $\implies 4,5$.
- Paso 2: Observar que la cifra $8$ posterior no altera el $5$: queda exactamente $4,5$.
- Paso 3: A la centésima ($k=2$): Conservar hasta la segunda cifra tras la coma ($58$) y cortar el $9$ posterior $\implies 4,58$.
- Conclusión: Truncado a la décima es $4,5$ y a la centésima es $4,58$.
La alternativa correcta es '$4,5$'.
Procedimiento
- Paso 1: Contar $k$ posiciones decimales después de la coma.
- Paso 2: Trazar una línea de corte inmediatamente después de la posición $k$.
- Paso 3: Escribir el número hasta dicha posición descartando por completo todos los dígitos posteriores.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Redondear hacia arriba si la siguiente cifra es 8 o 9 (ej: truncar $4,58$ como $4,6$). Cómo corregirlo: En el truncamiento NUNCA se redondea; el corte es directo ($4,58 \implies 4,5$).
- Error 2: Truncar suprimiendo cifras de la parte entera. Cómo corregirlo: El orden $k$ se cuenta exclusivamente a partir de la COMA DECIMAL hacia la derecha.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Se corta tras la décima: $4,5$.
- Se corta tras la centésima: $1,99$ (no se redondea a 2,00).
- Sí, conservando hasta las décimas se obtiene $5,1$.
- No, el truncamiento preserva de forma idéntica todas las cifras hasta el orden de corte.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Truncar números decimales a un orden de precisión determinado ($k$ cifras).
Trazando un corte estricto tras la posición decimal $k$ y descartando todas las cifras posteriores sin modificar ninguna de las cifras retenidas ($x_{\text{trunc}} = \frac{\lfloor x \cdot 10^k \rfloor}{10^k}$).