Aproximación por redondeo
Resumen inicial
El redondeo aproxima un número a la posición decimal $k$ eligiendo el valor más cercano, evaluando si el primer dígito descartado es menor a 5 (defecto) o mayor o igual a 5 (exceso).
Explicación en palabras simples
El redondeo consiste en buscar el número con la cantidad de decimales deseada que se encuentre más cerca del valor real. Para redondear, observamos la primera cifra que vamos a eliminar: si es menor que $5$ ($0, 1, 2, 3, 4$), la cifra anterior se mantiene igual; si es mayor o igual a $5$ ($5, 6, 7, 8, 9$), sumamos $1$ a la cifra anterior.
Explicación formal
Dado $x = \sum a_i \cdot 10^{-i} \in \mathbb{R}$ y un orden de corte $k$, el Redondeo Estándar a $k$ decimales $x_{\text{red}}$ se define mediante:
$$x_{\text{red}} = \frac{\lfloor x \cdot 10^k + 0,5 \rfloor}{10^k}$$
Desglose formal del algoritmo:
- Primer dígito descartado ($d_{k+1}$):
- Si $d_{k+1} \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \implies x_{\text{red}} = x_{\text{def}}$ (se mantiene la cifra $d_k$).
- Si $d_{k+1} \in \{5, 6, 7, 8, 9\} \implies x_{\text{red}} = x_{\text{exc}}$ (se suma $+1$ a la cifra $d_k$).
- Minimización de error: Garantiza que el error absoluto cumpla $|x - x_{\text{red}}| \le \frac{1}{2} \cdot 10^{-k}$.
Complemento didáctico: El redondeo minimiza la distancia en la recta numérica respecto al valor exacto.
La alternativa correcta es 'Se le suma 1 a la cifra retenida (porque 7 es mayor o igual a 5)'.
Definiciones clave
- Redondeo a $k$ decimales: Aproximación al múltiplo de $10^{-k}$ más cercano al valor real.
- Cifra discriminante ($d_{k+1}$): Primer dígito descartado que determina si se conserva o incrementa la cifra $d_k$.
- Error simétrico acotado: Propiedad $|x - x_{\text{red}}| \le \frac{1}{2} \cdot 10^{-k}$ que caracteriza al redondeo.
Propiedades y relaciones importantes
- Optimización de proximidad: Ningún otro número con $k$ decimales está más cerca de $x$ que $x_{\text{red}}$.
- Discretización: Divide la recta numérica en intervalos centrados en cada múltiplo de $10^{-k}$.
Ejemplo guiado
Redondee el número $3,746$ a la décima y a la centésima.
- Paso 1: A la décima ($k=1$): La cifra en las décimas es $7$. El dígito siguiente es $4$. Como $4 < 5$, la décima se mantiene en $7 \implies 3,7$.
- Paso 2: Comprobar proximidad: $|3,746 - 3,7| = 0,046 < 0,05$ (más cerca de $3,7$ que de $3,8$).
- Paso 3: A la centésima ($k=2$): La cifra en las centésimas es $4$. El dígito siguiente es $6$. Como $6 \ge 5$, sumamos $+1$ a la centésima: $4 + 1 = 5 \implies 3,75$.
- Paso 4: Comprobar proximidad: $|3,746 - 3,75| = 0,004 < 0,005$ (más cerca de $3,75$ que de $3,74$).
- Conclusión: A la décima es $3,7$ y a la centésima es $3,75$.
La alternativa correcta es '$3,75$'.
Procedimiento
- Paso 1: Ubicar la posición decimal $k$ a la cual se desea redondear.
- Paso 2: Mirar exclusivamente el primer dígito a la derecha de dicha posición ($d_{k+1}$).
- Paso 3: Si dicho dígito es $0, 1, 2, 3$ o $4$, mantener la cifra de la posición $k$; si es $5, 6, 7, 8$ o $9$, sumar $1$ a la cifra de la posición $k$ (con acarreo si fuera $9$).
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Mirar varios dígitos posteriores en cadena en vez de solo el primero inmediato. Cómo corregirlo: La decisión de redondeo depende EXCLUSIVAMENTE del primer dígito descartado ($d_{k+1}$).
- Error 2: Olvidar propagar la reserva cuando la cifra a redondear es 9 (ej: $8,97$ a décimas). Cómo corregirlo: Si la cifra es $9$ y suma $1$, pasa a $0$ y suma $1$ al orden inmediatamente superior ($8,97 \implies 9,0$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Como la centésima es $4 < 5$, la décima se conserva: $3,7$.
- Como la centésima es $7 \ge 5$, la décima $9 + 1 = 10 \implies 9,0$.
- Sí, como la centésima es $5 \ge 5$, la décima $4$ sube a $5 \implies 1,5$.
- Sí, la milésima es $7 \ge 5$, por lo que la centésima $3$ sube a $4 \implies 2,14$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Redondear números decimales a una precisión posicional dada ($k$ cifras).
Analizando el primer dígito descartado ($d_{k+1}$), conservando la cifra retenida si $d_{k+1} < 5$ o incrementándola en $+1$ si $d_{k+1} \ge 5$, minimizando el error absoluto a $|x - x_{\text{red}}| \le \frac{1}{2} \cdot 10^{-k}$.