Aproximación por exceso
Resumen inicial
Una aproximación por exceso (o por cota superior) es un valor mayor o igual al número real original obtenido al sumar una unidad al último orden decimal retenido.
Explicación en palabras simples
Aproximar por exceso a un orden decimal determinado significa encontrar un número con la precisión solicitada que sea mayor o igual al número original. Para números positivos, si existen cifras decimales descartadas mayores que cero, se suma una unidad ($+1$) a la última cifra retenida.
Explicación formal
Dado un número real $x \in \mathbb{R}^+$ y un orden de aproximación $k \in \mathbb{N}_0$, la Aproximación por Exceso a $k$ decimales $x_{\text{exc}}$ se define formalmente mediante:
$$x_{\text{exc}} = \frac{\lceil x \cdot 10^k \rceil}{10^k}$$
Desglose formal de la fórmula:
- $\lceil u \rceil$: Función techo, que devuelve el menor entero mayor o igual a $u$.
- Cota superior estricta: Satisface la desigualdad fundamental $x \le x_{\text{exc}} < x + 10^{-k}$.
- Incremento de orden: Si $x$ no es múltiplo exacto de $10^{-k}$, entonces $x_{\text{exc}} = x_{\text{def}} + 10^{-k}$.
Complemento didáctico: El valor real $x$ queda encajonado estrictamente entre sus dos cotas: $x_{\text{def}} \le x \le x_{\text{exc}}$.
La alternativa correcta es 'Se le suma una unidad (+1)'.
Definiciones clave
- Aproximación por exceso: Valor con precisión $10^{-k}$ que sobreestima o iguala al valor original ($x_{\text{exc}} \ge x$).
- Cota superior decimal: Menor múltiplo de $10^{-k}$ que es mayor o igual a $x$.
- Intervalo de encajonamiento: $[x_{\text{def}}, x_{\text{exc}}]$ de longitud $10^{-k}$ que contiene al número real.
Propiedades y relaciones importantes
- Monotonía superior: Para todo $x$, $x \le x_{\text{exc}}$.
- Longitud de intervalo: $x_{\text{exc}} - x_{\text{def}} = 10^{-k}$ (cuando $x \neq x_{\text{def}}$).
- Error por exceso: $E = x_{\text{exc}} - x \in [0, 10^{-k})$.
Ejemplo guiado
Aproxime por exceso el número $2,314$ a la décima y a la centésima.
- Paso 1: A la décima ($k=1$): La décima es $3$, y existen decimales posteriores no nulos ($0,014 > 0$). Sumar $+1$ a la décima: $3 + 1 = 4 \implies 2,4$.
- Paso 2: Comprobar la cota superior: $2,4 \ge 2,314$ (correcto).
- Paso 3: A la centésima ($k=2$): La centésima es $1$, y existe la milésima $4 > 0$. Sumar $+1$ a la centésima: $1 + 1 = 2 \implies 2,32$.
- Paso 4: Comprobar la cota superior: $2,32 \ge 2,314$ (correcto).
- Conclusión: A la décima es $2,4$ y a la centésima es $2,32$.
La alternativa correcta es '$2,4$'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar la posición decimal requerida ($k$ lugares tras la coma).
- Paso 2: Observar si existen cifras no nulas después de dicha posición.
- Paso 3: Si existen cifras no nulas descartadas, sumar $1$ a la cifra de la posición $k$ (propagando reservas si es un 9); si no hay cifras descartadas, dejar el número inalterado.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Dejar la cifra igual si la siguiente es menor a 5. Cómo corregirlo: En exceso se suma $+1$ SIEMPRE que haya cifras descartadas mayores a 0, sin importar si es 1, 2, 3 o 4.
- Error 2: Sumar 1 a la parte entera en lugar de la posición decimal pedida. Cómo corregirlo: La unidad $+1$ se suma específicamente en el orden decimal solicitado ($10^{-k}$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Como se descarta la centésima $1 > 0$, se suma 1 a la décima: $2,3 + 0,1 = 2,4$.
- Como se descarta la milésima $4 > 0$, se suma 1 a la centésima: $7,00 + 0,01 = 7,01$.
- Sí, como la décima $2 > 0$ se descarta, la unidad $1$ se incrementa a $2$.
- Sí, por definición $x_{\text{exc}} \ge x$ para todo número real.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Aproximar números reales por exceso a un orden decimal determinado ($k$ cifras).
Incrementando en una unidad ($+1$) la cifra de la posición decimal $k$ si existen cifras decimales posteriores mayores que cero, garantizando que el valor aproximado constituya una cota superior válida ($x_{\text{exc}} \ge x$).