Aproximación por defecto
Resumen inicial
Una aproximación por defecto (o por cota inferior) es un valor menor o igual al número real original obtenido al conservar las cifras hasta el orden requerido.
Explicación en palabras simples
Aproximar por defecto a un orden decimal determinado (décimas, centésimas, milésimas) significa encontrar un número con la precisión solicitada que sea menor o igual al número original. Para números positivos, consiste simplemente en conservar las cifras hasta la posición indicada y descartar todo lo que venga después.
Explicación formal
Dado un número real $x \in \mathbb{R}^+$ y un orden de aproximación $k \in \mathbb{N}_0$, la Aproximación por Defecto a $k$ decimales $x_{\text{def}}$ se define formalmente mediante:
$$x_{\text{def}} = \frac{\lfloor x \cdot 10^k \rfloor}{10^k}$$
Desglose formal de la fórmula:
- $\lfloor u \rfloor$: Función piso o parte entera, que devuelve el mayor entero menor o igual a $u$.
- Cota inferior estricta: Satisface la desigualdad fundamental $x_{\text{def}} \le x < x_{\text{def}} + 10^{-k}$.
- Error absoluto: El error por defecto cumple $0 \le x - x_{\text{def}} < 10^{-k}$.
Complemento didáctico: Para todo número decimal positivo, la aproximación por defecto coincide exactamente con la operación de truncamiento.
La alternativa correcta es 'Es siempre menor o igual al valor real ($x_{\text{def}} \le x$)'.
Definiciones clave
- Aproximación por defecto: Valor con precisión $10^{-k}$ que subestima o iguala al valor original ($x_{\text{def}} \le x$).
- Orden de aproximación ($k$): Posición decimal de corte (unidades $k=0$, décimas $k=1$, centésimas $k=2$, milésimas $k=3$).
- Cota inferior decimal: Extremo izquierdo del intervalo unitario de longitud $10^{-k}$ que encierra al número.
Propiedades y relaciones importantes
- Monotonía posicional: Para $x > 0$, $x_{\text{def}} \le x$.
- Acotamiento del error: $E = x - x_{\text{def}} \in [0, 10^{-k})$.
- Idempotencia: Si $x$ ya tiene $k$ cifras decimales, $x_{\text{def}} = x$.
Ejemplo guiado
Aproxime por defecto el número $5,483$ a la décima y a la centésima.
- Paso 1: Para la décima ($k=1$): Identificar la cifra en las décimas, que es $4$. Descartar centésimas y milésimas $\implies 5,4$.
- Paso 2: Comprobar la cota inferior: $5,4 \le 5,483$ (correcto).
- Paso 3: Para la centésima ($k=2$): Conservar hasta las centésimas ($5,48$) y descartar la milésima ($3$) $\implies 5,48$.
- Paso 4: Comprobar la cota inferior: $5,48 \le 5,483$ (correcto).
- Conclusión: A la décima es $5,4$ y a la centésima es $5,48$.
La alternativa correcta es '$5,48$'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar la posición decimal requerida ($k$ lugares tras la coma).
- Paso 2: Conservar el número exacto hasta dicha posición decimal.
- Paso 3: Eliminar todas las cifras decimales que se encuentren a la derecha de la posición $k$ sin modificar las cifras conservadas.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Sumar +1 a la última cifra si la siguiente es mayor o igual a 5. Cómo corregirlo: En la aproximación por DEFECTO nunca se suma 1; las cifras posteriores simplemente se eliminan.
- Error 2: Confundir aproximación por defecto con aproximación por exceso. Cómo corregirlo: La aproximación por defecto produce un número MENOR o igual al original, no mayor.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Se conserva hasta la décima: $5,4$.
- Se conserva hasta la centésima: $0,81$.
- Sí, conservando hasta las décimas resulta $4,1$.
- No, por definición la aproximación por defecto es menor o igual al valor real ($x_{\text{def}} \le x$).
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Aproximar números reales por defecto a un orden decimal determinado ($k$ cifras).
Conservando las cifras del número hasta la posición decimal solicitada y descartando todas las cifras posteriores, asegurando que el valor aproximado constituya una cota inferior válida ($x_{\text{def}} \le x$).