Transformación de sustracción a suma por el inverso
Resolver la sustracción de números enteros transformándola en la suma del inverso aditivo del sustraendo.
Introducción
¿Sabías que en el fondo la resta no existe como una operación completamente distinta a la suma? Restar un número es exactamente lo mismo que sumar su opuesto.
Piensa en esto: si estás jugando y te quitan 3 puntos a favor, es exactamente el mismo efecto que si te añaden 3 puntos de castigo (puntos negativos).
En matemáticas, para resolver una resta como $7 - 3$, podemos transformarla en la suma de $7$ con el opuesto de $3$, que es $-3$: $7 + (-3) = 4$.
Esta regla es sumamente útil, porque una vez que aprendes a sumar enteros, ¡automáticamente sabes cómo restarlos!
Explicación
La sustracción en el conjunto de los números enteros no cumple con las propiedades conmutativa y asociativa. Sin embargo, puede definirse completamente en términos de la adición.
Para resolver cualquier resta de la forma $a - b$ (donde $a$ es el minuendo y $b$ es el sustraendo), aplicamos la siguiente identidad:
$$a - b = a + (-b)$$
Donde $-b$ representa el opuesto o inverso aditivo de $b$.
Esta regla es aplicable sin importar los signos de los números involucrados:
- Restar un positivo: $a - (+b) = a + (-b)$. Ejemplo: $5 - (+8) = 5 + (-8) = -3$.
- Restar un negativo: $a - (-b) = a + (+b) = a + b$. Ejemplo: $5 - (-8) = 5 + (+8) = 13$ (aquí vemos gráficamente por qué 'menos con menos se transforma en más').
Al transformar la sustracción en adición, podemos usar todas las reglas y propiedades de la adición de enteros (como asociar sumandos cómodamente para simplificar operaciones complejas).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identificar el minuendo (primer término) y el sustraendo (segundo término, el que se está restando).
- Paso 2: Escribir el minuendo idéntico, cambiar el signo de resta ($-$) por una suma ($+$), y reemplazar el sustraendo por su opuesto.
- Paso 3: Resolver la adición resultante utilizando las reglas de suma de enteros (igual signo o diferente signo).
Ejemplos
1 Calcular el resultado de la sustracción: $(-12) - (+5)$.
- Identificar los términos: el minuendo es $-12$, el sustraendo es $+5$.
- Transformar la resta en suma sumando el opuesto de $+5$: $(-12) + (-5)$.
- Resolver la suma: como ambos sumandos son negativos (mismo signo), sumamos sus valores absolutos ($12 + 5 = 17$) y conservamos el signo: $-17$.
2 Calcular el resultado de la sustracción: $(+8) - (-14)$.
- Identificar los términos: el minuendo es $+8$, el sustraendo es $-14$.
- Transformar la resta en suma sumando el opuesto de $-14$, que es $+14$: $(+8) + (+14)$.
- Resolver la suma: ambos son positivos, por lo que el resultado es $+22$ (o $22$).
3 ¿Es $(-10) - (-10)$ igual a cero?
- Aplicamos la regla de la resta: $(-10) + (+10)$.
- Sumar un número con su opuesto da como resultado cero.
- Por lo tanto, $(-10) - (-10) = 0$.
4 ¿El resultado de restar un número de otro menor es siempre negativo?
- Sean $a, b \in \mathbb{Z}$ tales que $a < b$.
- Al realizar $a - b$, estamos sumando al menor $a$ un número con mayor valor absoluto y signo negativo ($-b$).
- Dado que $|-b| > |a|$ y el término con mayor valor absoluto es negativo, la suma $a + (-b)$ debe dar un resultado negativo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Cambiar el signo del minuendo en lugar del sustraendo (ej: transformar $5 - 8$ en $-5 + 8$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No cambiar el signo de resta a suma al cambiar el signo del sustraendo (ej: dejar $5 - (-8)$ como $5 - 8$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que restar un número negativo da un resultado menor (ej: pensar que $5 - (-2) = 3$ en lugar de $7$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la regla del opuesto en la resta con la regla de la multiplicación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la propiedad conmutativa en la resta directamente (ej: decir que $3 - 9 = 9 - 3$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La regla de la sustracción en $\mathbb{Z}$ establece que restar un número entero de otro equivale a sumar al minuendo el inverso aditivo (u opuesto) del sustraendo. Es decir: $a - b = a + (-b)$ para cualesquiera $a, b \in \mathbb{Z}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cómo se define la sustracción en el conjunto de los números enteros?
La regla fundamental es que $a - b = a + (-b)$.
Respuesta: Como la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo.
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Al transformar la resta $(-8) - (-12)$ en una suma, ¿cuál es la expresión correcta?
El minuendo se mantiene igual ($-8$), la resta se cambia a suma, y el sustraendo $-12$ se reemplaza por su opuesto $+12$.
Respuesta: $(-8) + (+12)$
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Si restamos un número entero positivo de otro número entero positivo, ¿cuál de las siguientes opciones describe el resultado?
Por ejemplo: $5 - 3 = 2$ (positivo), $3 - 5 = -2$ (negativo), $5 - 5 = 0$ (cero).
Respuesta: Puede ser positivo, negativo o cero, dependiendo de la magnitud de los números.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Identifica cuál de las siguientes expresiones es equivalente a la sustracción $(+15) - (+20)$.
La resta de $+20$ se convierte en la suma de su opuesto, es decir, suma de $-20$.
Respuesta: $(+15) + (-20)$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El resultado de $(-5) - (-8)$ es igual a $+3$?
Transformamos a suma: $(-5) + (+8) = 8 - 5 = 3$.
Respuesta: Verdadero
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¿La resta $(+4) - (+10)$ da como resultado $+6$?
Transformamos a suma: $(+4) + (-10)$. Restamos valores absolutos $10 - 4 = 6$, y mantenemos el signo del mayor: $-6$.
Respuesta: Falso
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¿Es $(-12) - (+12)$ igual a cero?
Transformamos a suma: $(-12) + (-12) = -24$. No es cero, ya que sumamos números con el mismo signo.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un helicóptero vuela a una altura de $150$ metros sobre el nivel del mar y un submarino se encuentra a $80$ metros bajo el nivel del mar. ¿Cuál es la distancia vertical que separa al helicóptero del submarino?
La altura del helicóptero es $+150$ y la del submarino es $-80$. La distancia es la diferencia: $150 - (-80) = 150 + 80 = 230$ metros.
Respuesta: $230$ metros
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En una estación meteorológica de la Patagonia, la temperatura mínima registrada fue de $-6\,^{\circ}\text{C}$ y la temperatura máxima fue de $+14\,^{\circ}\text{C}$. ¿Cuál fue la variación o diferencia de temperatura del día?
La variación de temperatura se calcula como $T_{\text{máx}} - T_{\text{mín}} = (+14) - (-6)$. Aplicando la regla de la resta: $14 + (+6) = 20\,^{\circ}\text{C}$.
Respuesta: $20\,^{\circ}\text{C}$
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Si $a$ y $b$ son dos números enteros tales que $a < b$. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la expresión $a - b$ es siempre verdadera?
Como $a < b$, al restar $b$ de $a$ estamos restando una cantidad mayor de una menor, lo cual en $\mathbb{Z}$ siempre arroja un resultado negativo.
Respuesta: Es un entero negativo.