Transformación de sustracción a suma por el inverso
Resumen inicial
Restar un entero equivale a sumar su inverso aditivo: $a - b = a + (-b)$.
Explicación en palabras simples
En el conjunto de los enteros, la resta no se considera una operación diferente, sino una suma disfrazada. Restar un número es exactamente igual a sumar su opuesto aditivo. Por ejemplo, restar $+5$ equivale a sumar $-5$, y restar $-5$ equivale a sumar $+5$.
Explicación formal
Para todo par de enteros $a, b \in \mathbb{Z}$, la Definición de Sustracción la transforma unívocamente en una adición con el inverso aditivo del sustraendo:
$$a - b = a + (-b)$$
Desglose de la fórmula:
- $a$: Minuendo de la sustracción.
- $b$: Sustraendo que se va a restar.
- $a + (-b)$: Adición del minuendo $a$ con el inverso aditivo $-b$.
Complemento didáctico: Restar un entero negativo como $8 - (-3)$ se convierte en la suma de dos positivos: $8 + (+3) = 11$.
La alternativa correcta es 'En la suma 5 + 3 = 8'.
Definiciones clave
- Transformación de sustracción: Regla que convierte $a - b$ en $a + (-b)$.
- Minuendo y sustraendo: Términos inicial y restado respectivamente en la sustracción.
Propiedades y relaciones importantes
- No conmutativa: $a - b \neq b - a$ en general.
Ejemplo guiado
Calcule la sustracción $7 - (-12)$ transformándola previamente en adición.
- Paso 1: Identificar el minuendo $7$ y el sustraendo $-12$.
- Paso 2: Reemplazar la resta por la suma del opuesto del sustraendo: $7 + (-(-12)) = 7 + 12$.
- Paso 3: Resolver la suma de enteros positivos: $7 + 12 = 19$.
- Conclusión: $7 - (-12) = 19$.
La alternativa correcta es '19'.
Procedimiento
- Paso 1: Conservar el minuendo $a$ con su signo original.
- Paso 2: Cambiar el signo de resta a suma y cambiar el signo del sustraendo $b$ a su opuesto $-b$.
- Paso 3: Aplicar la regla de adición de enteros (igual signo o distinto signo).
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Pensar que restar un número negativo siempre achica el resultado. Cómo corregirlo: Restar un negativo equivale a sumar un positivo ($a - (-b) = a + b$), lo que aumenta el resultado.
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Error 2: Cambiar el signo del minuendo al transformar la resta. Cómo corregirlo: El minuendo no cambia de signo; solo cambia el sustraendo.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $(-10) - 14 = (-10) + (-14) = -24$.
- $(-3) - 8 = (-3) + (-8) = -11^\circ\text{C}$.
- Sí, $a - (-b) = a + b$.
- No, $5 - 3 = 2$ mientras que $3 - 5 = -2$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Transformar y resolver cualquier sustracción de números enteros como una adición por el inverso.
Aplicando la regla formal de conversión $a - b = a + (-b)$, en particular $a - (-b) = a + b$, y ejecutando las reglas de adición de enteros.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cómo se define la sustracción en el conjunto de los números enteros?
La regla fundamental es que $a - b = a + (-b)$.
Respuesta: Como la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo.
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Al transformar la resta $(-8) - (-12)$ en una suma, ¿cuál es la expresión correcta?
El minuendo se mantiene igual ($-8$), la resta se cambia a suma, y el sustraendo $-12$ se reemplaza por su opuesto $+12$.
Respuesta: $(-8) + (+12)$
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Si restamos un número entero positivo de otro número entero positivo, ¿cuál de las siguientes opciones describe el resultado?
Por ejemplo: $5 - 3 = 2$ (positivo), $3 - 5 = -2$ (negativo), $5 - 5 = 0$ (cero).
Respuesta: Puede ser positivo, negativo o cero, dependiendo de la magnitud de los números.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Identifica cuál de las siguientes expresiones es equivalente a la sustracción $(+15) - (+20)$.
La resta de $+20$ se convierte en la suma de su opuesto, es decir, suma de $-20$.
Respuesta: $(+15) + (-20)$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El resultado de $(-5) - (-8)$ es igual a $+3$?
Transformamos a suma: $(-5) + (+8) = 8 - 5 = 3$.
Respuesta: Verdadero
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¿La resta $(+4) - (+10)$ da como resultado $+6$?
Transformamos a suma: $(+4) + (-10)$. Restamos valores absolutos $10 - 4 = 6$, y mantenemos el signo del mayor: $-6$.
Respuesta: Falso
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¿Es $(-12) - (+12)$ igual a cero?
Transformamos a suma: $(-12) + (-12) = -24$. No es cero, ya que sumamos números con el mismo signo.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un helicóptero vuela a una altura de $150$ metros sobre el nivel del mar y un submarino se encuentra a $80$ metros bajo el nivel del mar. ¿Cuál es la distancia vertical que separa al helicóptero del submarino?
La altura del helicóptero es $+150$ y la del submarino es $-80$. La distancia es la diferencia: $150 - (-80) = 150 + 80 = 230$ metros.
Respuesta: $230$ metros
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En una estación meteorológica de la Patagonia, la temperatura mínima registrada fue de $-6\,^{\circ}\text{C}$ y la temperatura máxima fue de $+14\,^{\circ}\text{C}$. ¿Cuál fue la variación o diferencia de temperatura del día?
La variación de temperatura se calcula como $T_{\text{máx}} - T_{\text{mín}} = (+14) - (-6)$. Aplicando la regla de la resta: $14 + (+6) = 20\,^{\circ}\text{C}$.
Respuesta: $20\,^{\circ}\text{C}$
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Si $a$ y $b$ son dos números enteros tales que $a < b$. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la expresión $a - b$ es siempre verdadera?
Como $a < b$, al restar $b$ de $a$ estamos restando una cantidad mayor de una menor, lo cual en $\mathbb{Z}$ siempre arroja un resultado negativo.
Respuesta: Es un entero negativo.