Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición
Aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición y sustracción en Z para resolver y simplificar cálculos numéricos.
Introducción
Imagina que eres un cartero y tienes que entregar dos cartas, una a la casa de Ana y otra a la de Beto. Puedes hacer el recorrido de dos maneras:
Una opción es juntar a Ana y Beto en el parque y entregarles sus cartas a la vez.
La otra opción es ir directamente a la casa de Ana a dejar su carta, y luego viajar a la casa de Beto a dejar la suya.
¡En ambos casos entregaste las mismas cartas!
En matemáticas, cuando un número multiplica a una suma (como $2 \cdot (3 + 5)$), puedes resolver la suma primero y luego multiplicar ($2 \cdot 8 = 16$), o puedes "distribuir" la multiplicación entregándola a cada término de la suma ($2 \cdot 3 + 2 \cdot 5 = 6 + 10 = 16$). ¡El resultado siempre es el mismo!
Explicación
La propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición vincula de forma directa las dos operaciones aritméticas principales en el conjunto de los enteros ($\mathbb{Z}$).
Para tres enteros cualesquiera $a, b, c \in \mathbb{Z}$, se define matemáticamente como:
$$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$$
Y de forma similar para la sustracción:
$$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$$
Direcciones de aplicación:
1. De izquierda a derecha (Desarrollo): Útil para descomponer multiplicaciones complejas en sumas más sencillas. Por ejemplo, $8 \cdot 102 = 8 \cdot (100 + 2) = 8 \cdot 100 + 8 \cdot 2 = 800 + 16 = 816$.
2. De derecha a izquierda (Factorización / Factor común): Consiste en extraer un factor común que se repite en varios términos sumados. Por ejemplo, $7 \cdot 12 + 7 \cdot 8 = 7 \cdot (12 + 8) = 7 \cdot 20 = 140$.
Esta propiedad es el pilar fundamental del álgebra elemental, permitiendo el desarrollo de binomios, la reducción de términos semejantes y la factorización de expresiones algebraicas.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica una expresión de la forma $a \cdot (b + c)$ o de la forma $a \cdot b + a \cdot c$.
- Paso 2: Si desarrollas, multiplica el factor de afuera ($a$) por cada término dentro del paréntesis ($b$ y $c$), respetando las reglas de multiplicación y signos.
- Paso 3: Si factorizas, identifica el factor común ($a$), colócalo fuera del paréntesis y agrupa los términos restantes ($b + c$) dentro de él.
- Paso 4: Realiza las operaciones finales para obtener el resultado.
Ejemplos
1 Calcula el valor de la expresión $(-3) \cdot [10 + (-2)]$ aplicando la propiedad distributiva.
- Paso a: Identificamos que el factor $-3$ multiplica a la suma dentro del corchete.
- Paso b: Distribuimos la multiplicación: $(-3) \cdot 10 + (-3) \cdot (-2)$.
- Paso c: Calculamos cada producto por separado: $(-3) \cdot 10 = -30$ y $(-3) \cdot (-2) = 6$.
- Paso d: Sumamos los productos obtenidos: $-30 + 6 = -24$.
2 Resuelve de forma rápida $15 \cdot 8 + 15 \cdot 2$ aplicando la propiedad distributiva a la inversa (factor común).
- Paso a: Vemos que el número $15$ se repite como factor en ambos sumandos.
- Paso b: Expresamos la suma como el producto del factor común por la suma de los otros términos: $15 \cdot (8 + 2)$.
- Paso c: Resolvemos el paréntesis primero: $8 + 2 = 10$.
- Paso d: Multiplicamos el resultado: $15 \cdot 10 = 150$.
3 ¿Es la expresión $2 \cdot (3 \cdot 4)$ equivalente a $(2 \cdot 3) + (2 \cdot 4)$ según la distributividad?
- La propiedad distributiva se aplica a la multiplicación respecto a la **adición** o **sustracción** ($a \cdot (b + c)$).
- En la expresión $2 \cdot (3 \cdot 4)$ solo hay multiplicaciones, por lo que aplica la propiedad asociativa ($2 \cdot 12 = 24$).
- El desarrollo $(2 \cdot 3) + (2 \cdot 4)$ daría $6 + 8 = 14$, lo cual es incorrecto.
4 ¿Da el mismo resultado resolver $(-5) \cdot [6 - 2]$ restando primero que aplicando la propiedad distributiva?
- Restando primero: $(-5) \cdot [4] = -20$.
- Distribuyendo: $(-5) \cdot 6 - (-5) \cdot 2 = -30 - (-10) = -30 + 10 = -20$.
- Ambos métodos dan $-20$, confirmando la validez de la propiedad distributiva.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Multiplicar el factor exterior solo por el primer término del paréntesis (ej: $3 \cdot (5 + 2) = 15 + 2$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No aplicar la regla de los signos correctamente al distribuir un factor negativo (ej: $-2 \cdot (3 - 4) = -6 - 8$ en lugar de $-6 + 8$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Intentar distribuir la multiplicación sobre otra multiplicación (ej: $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot (a \cdot c)$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que la adición es distributiva respecto a la multiplicación (ej: $a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c)$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la sustracción en la distribución y cambiar el signo del segundo término de forma incorrecta."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La propiedad distributiva establece que multiplicar un número entero por una suma o resta da el mismo resultado que multiplicar el número por cada sumando individualmente y luego sumar o restar los productos. Es decir, $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ y $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál de las siguientes expresiones representa de forma correcta la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la sustracción?
La propiedad distributiva también aplica directamente sobre la resta o diferencia.
Respuesta: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$
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Si aplicamos la propiedad distributiva a la expresión $-3 \cdot (5 + x)$, obtenemos:
$-3 \cdot (5 + x) = (-3 \cdot 5) + (-3 \cdot x) = -15 - 3x$.
Respuesta: $-15 - 3x$
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La propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición establece que...
Es la definición conceptual de la distributividad: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.
Respuesta: Multiplicar un número por una suma da el mismo resultado que multiplicar el número por cada sumando y luego sumarlos.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes igualdades muestra la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición?
Muestra la multiplicación de $-4$ distribuida a los sumandos $2$ y $7$.
Respuesta: $-4 \cdot (2 + 7) = -4 \cdot 2 + (-4) \cdot 7$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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La expresión $8 \cdot 15 + 8 \cdot 5$ se puede simplificar como $8 \cdot (15 + 5)$.
Se puede aplicar la propiedad distributiva a la inversa (extracción de factor común).
Respuesta: Verdadero
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Al desarrollar la expresión $-2 \cdot (3 - 5)$ distributivamente, se obtiene el producto $-6 - 10$.
Se obtiene $(-2) \cdot 3 - (-2) \cdot 5 = -6 - (-10) = -6 + 10 = 4$.
Respuesta: Falso
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La expresión $5 + (2 \cdot 3)$ es equivalente a $(5 + 2) \cdot (5 + 3)$.
La adición no es distributiva respecto a la multiplicación. $5 + 6 = 11$, mientras que $7 \cdot 8 = 56$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En una bodega hay 12 cajas con 18 botellas de jugo de manzana cada una y 12 cajas con 12 botellas de jugo de uva cada una. ¿Cuál de las siguientes operaciones permite calcular la cantidad total de botellas de forma más óptima usando propiedades de los enteros?
El total de botellas es $12 \cdot 18 + 12 \cdot 12$. Por distributividad (factor común), esto equivale a $12 \cdot (18 + 12) = 12 \cdot 30 = 360$.
Respuesta: $12 \cdot (18 + 12) = 12 \cdot 30 = 360$
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Si se define la expresión $A = -5 \cdot (n + 2) + 5 \cdot n$, ¿cuál es el valor simplificado de $A$ para cualquier número entero $n$?
Aplicando la propiedad distributiva: $-5 \cdot (n + 2) = -5 \cdot n - 10$. Reemplazando en $A$: $-5n - 10 + 5n = -10$.
Respuesta: $-10$
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Para calcular mentalmente el precio de 6 entradas de cine que cuestan $\$3.990$ cada una, Valeria plantea la operación como $6 \cdot (4000 - 10)$. ¿Qué propiedad de los números enteros le permitirá resolver esto de forma rápida?
$6 \cdot (4000 - 10) = 6 \cdot 4000 - 6 \cdot 10 = 24000 - 60 = 23940$. Esto demuestra la distributividad sobre la resta.
Respuesta: La propiedad distributiva, calculando $6 \cdot 4000 - 6 \cdot 10$.