Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición
Resumen inicial
La multiplicación se distribuye sobre la adición: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.
Explicación en palabras simples
La propiedad distributiva nos permite multiplicar un número por una suma de dos formas distintas: podemos sumar primero los números del paréntesis y luego multiplicar, o bien multiplicar el número por cada uno de los sumandos por separado y luego sumar los resultados.
Explicación formal
Para cualesquiera tres enteros $a, b, c \in \mathbb{Z}$, la Propiedad Distributiva de la Multiplicación sobre la Adición establece que:
$$a \cdot \left(b + c\right) = a \cdot b + a \cdot c$$
Desglose de la fórmula:
- $a \cdot (b + c)$: Multiplicación del factor exterior $a$ por la suma interior $(b + c)$.
- $a \cdot b + a \cdot c$: Distribución del factor $a$ a cada sumando por separado.
Complemento didáctico: $(-3) \cdot (4 + (-2)) = (-3) \cdot (2) = -6$, o distribuyendo: $(-3) \cdot 4 + (-3) \cdot (-2) = -12 + 6 = -6$.
La alternativa correcta es 'Que a · (b + c) = a · b + a · c'.
Definiciones clave
- Propiedad distributiva: Factorización o expansión que conecta la multiplicación con la adición.
Propiedades y relaciones importantes
- Factor común: Proceso inverso a la distributividad ($a \cdot b + a \cdot c = a(b + c)$).
Ejemplo guiado
Calcule $(-4) \cdot (5 + (-2))$ aplicando la propiedad distributiva.
- Paso 1: Distribuir el factor exterior $-4$ a cada sumando: $(-4) \cdot 5 + (-4) \cdot (-2)$.
- Paso 2: Calcular los productos parciales: $(-20) + 8$.
- Paso 3: Sumar los resultados parciales: $(-20) + 8 = -12$.
- Conclusión: $(-4) \cdot (5 + (-2)) = -12$.
La alternativa correcta es '-12'.
Procedimiento
- Paso 1: Multiplicar el factor exterior por el primer sumando dentro del paréntesis.
- Paso 2: Multiplicar el factor exterior por el segundo sumando dentro del paréntesis.
- Paso 3: Sumar los dos productos parciales respetando sus signos.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Multiplicar el factor exterior solo por el primer término del paréntesis. En $3(x + 4)$, escribir $3x + 4$. Cómo corregirlo: El factor exterior debe multiplicar a TODOS los términos dentro del paréntesis ($3x + 12$).
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Error 2: Errar el signo al distribuir un factor negativo. En $-2(4 - 5)$, no cambiar el signo del segundo término. Cómo corregirlo: $(-2) \cdot 4 + (-2) \cdot (-5) = -8 + 10 = 2$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $5 \cdot 10 - 5 \cdot 4 = 50 - 20 = 30$.
- $(-6) \cdot (8 + 2) = (-6) \cdot 10 = -60$.
- Sí, la distributividad aplica tanto a la suma como a la resta.
- No, la distributividad aplica sobre la adición, no sobre la multiplicación.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición y sustracción en ambos sentidos.
Expandiendo productos según $a(b \pm c) = ab \pm ac$ o factorizando mediante extracción de factor común $ab \pm ac = a(b \pm c)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál de las siguientes expresiones representa de forma correcta la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la sustracción?
La propiedad distributiva también aplica directamente sobre la resta o diferencia.
Respuesta: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$
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Si aplicamos la propiedad distributiva a la expresión $-3 \cdot (5 + x)$, obtenemos:
$-3 \cdot (5 + x) = (-3 \cdot 5) + (-3 \cdot x) = -15 - 3x$.
Respuesta: $-15 - 3x$
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La propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición establece que...
Es la definición conceptual de la distributividad: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.
Respuesta: Multiplicar un número por una suma da el mismo resultado que multiplicar el número por cada sumando y luego sumarlos.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes igualdades muestra la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición?
Muestra la multiplicación de $-4$ distribuida a los sumandos $2$ y $7$.
Respuesta: $-4 \cdot (2 + 7) = -4 \cdot 2 + (-4) \cdot 7$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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La expresión $8 \cdot 15 + 8 \cdot 5$ se puede simplificar como $8 \cdot (15 + 5)$.
Se puede aplicar la propiedad distributiva a la inversa (extracción de factor común).
Respuesta: Verdadero
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Al desarrollar la expresión $-2 \cdot (3 - 5)$ distributivamente, se obtiene el producto $-6 - 10$.
Se obtiene $(-2) \cdot 3 - (-2) \cdot 5 = -6 - (-10) = -6 + 10 = 4$.
Respuesta: Falso
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La expresión $5 + (2 \cdot 3)$ es equivalente a $(5 + 2) \cdot (5 + 3)$.
La adición no es distributiva respecto a la multiplicación. $5 + 6 = 11$, mientras que $7 \cdot 8 = 56$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En una bodega hay 12 cajas con 18 botellas de jugo de manzana cada una y 12 cajas con 12 botellas de jugo de uva cada una. ¿Cuál de las siguientes operaciones permite calcular la cantidad total de botellas de forma más óptima usando propiedades de los enteros?
El total de botellas es $12 \cdot 18 + 12 \cdot 12$. Por distributividad (factor común), esto equivale a $12 \cdot (18 + 12) = 12 \cdot 30 = 360$.
Respuesta: $12 \cdot (18 + 12) = 12 \cdot 30 = 360$
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Si se define la expresión $A = -5 \cdot (n + 2) + 5 \cdot n$, ¿cuál es el valor simplificado de $A$ para cualquier número entero $n$?
Aplicando la propiedad distributiva: $-5 \cdot (n + 2) = -5 \cdot n - 10$. Reemplazando en $A$: $-5n - 10 + 5n = -10$.
Respuesta: $-10$
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Para calcular mentalmente el precio de 6 entradas de cine que cuestan $\$3.990$ cada una, Valeria plantea la operación como $6 \cdot (4000 - 10)$. ¿Qué propiedad de los números enteros le permitirá resolver esto de forma rápida?
$6 \cdot (4000 - 10) = 6 \cdot 4000 - 6 \cdot 10 = 24000 - 60 = 23940$. Esto demuestra la distributividad sobre la resta.
Respuesta: La propiedad distributiva, calculando $6 \cdot 4000 - 6 \cdot 10$.