Propiedad asociativa de la multiplicación

Verificar las ideas clave antes de calcular.

1. Si se sabe que $(a \cdot b) \cdot c = 40$, ¿cuál es el valor de $a \cdot (b \cdot c)$?

   • $40$
   • $-40$
   • $20$
   • No se puede determinar sin conocer los valores de $a$, $b$ y $c$.

2. ¿Cuál de las siguientes igualdades representa la propiedad asociativa de la multiplicación?

   • $(-2 \cdot 5) \cdot 3 = -2 \cdot (5 \cdot 3)$
   • $-2 \cdot 5 = 5 \cdot (-2)$
   • $-2 \cdot (5 + 3) = -2 \cdot 5 + -2 \cdot 3$
   • $-2 \cdot 1 = -2$

3. La propiedad asociativa de la multiplicación en $\mathbb{Z}$ permite...

   • Agrupar de formas distintas los factores sin cambiar el producto final.
   • Cambiar el orden de los factores para obtener un resultado diferente.
   • Distribuir un número respecto a una suma de enteros.
   • Reemplazar un factor negativo por uno positivo.

Identificar elementos, datos o procedimientos.

1. ¿Cuál de las siguientes operaciones de multiplicación entre enteros muestra el uso de la propiedad asociativa?

   • $[(-3) \cdot 4] \cdot (-2) = -3 \cdot [4 \cdot (-2)]$
   • $(-3) \cdot 4 = 4 \cdot (-3)$
   • $(-3) \cdot (4 - 2) = (-3) \cdot 4 - (-3) \cdot 2$
   • $(-3) \cdot 0 = 0$

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

1. La expresión $[(-2) \cdot (-3)] \cdot 5$ da el mismo resultado que $-2 \cdot [(-3) \cdot 5]$.

   Verdadero Falso

2. Para simplificar el cálculo de $5 \cdot 7 \cdot (-2)$ podemos asociar primero $5 \cdot (-2)$, obteniendo $-10 \cdot 7 = -70$.

   Verdadero Falso

3. La propiedad asociativa también es aplicable a la división de enteros, por ejemplo, $(12 \div 4) \div 2$ es igual a $12 \div (4 \div 2)$.

   Verdadero Falso

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

1. Tres estudiantes resuelven la multiplicación $(-5) \cdot 17 \cdot (-20)$. Diego calcula primero $(-5) \cdot 17$; Sofía calcula primero $17 \cdot (-20)$; y Tomás calcula primero $(-5) \cdot (-20)$. Con respecto a los resultados obtenidos por los estudiantes, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

   • Los tres obtendrán exactamente el mismo resultado ($1700$) debido a la asociatividad y conmutatividad.
   • Tomás obtendrá un resultado diferente porque cambió los signos de los números.
   • Sofía y Diego obtendrán el mismo resultado, pero Tomás obtendrá un valor negativo.
   • Ninguno obtendrá el mismo resultado porque el orden de las operaciones altera el producto.

2. Un comerciante compra 4 cajas de lápices. Cada caja contiene 25 paquetes, y cada paquete tiene 12 lápices. Para calcular el total de lápices, él asocia el cálculo como $(4 \cdot 25) \cdot 12$ en lugar de $4 \cdot (25 \cdot 12)$. ¿Cuál es la principal ventaja matemática de esta decisión?

   • Obtiene un múltiplo de 100 ($4 \cdot 25 = 100$) facilitando la multiplicación mental posterior.
   • El resultado final de lápices disminuye porque las operaciones se simplifican.
   • Evita el uso de números negativos en el conteo.
   • Permite realizar una división en lugar de una multiplicación.

3. Se tiene la expresión $P = x \cdot (y \cdot z)$ donde $x, y, z$ son enteros tales que el producto de $x$ e $y$ es $-10$ y $z$ es $-8$. ¿De qué manera se puede calcular el valor de $P$ utilizando propiedades de la multiplicación?

   • Agrupando $P = (x \cdot y) \cdot z$, lo que resulta en $-10 \cdot (-8) = 80$.
   • Calculando $P = (x + y) \cdot z$, lo que da como resultado $-18 \cdot (-8) = 144$.
   • Sabiendo que $P$ siempre debe ser un número negativo.
   • Despejando $x$ e $y$ por separado porque la asociatividad no permite juntarlos.