Propiedad asociativa de la multiplicación
Aplicar la propiedad asociativa de la multiplicación en Z para simplificar el cálculo de productos de tres o más factores.
Introducción
Cuando multiplicas tres números, por ejemplo, $2 \cdot 3 \cdot 5$, ¿importa cuáles dos multiplicas primero? ¡Para nada!
Puedes multiplicar primero $2 \cdot 3 = 6$ y luego $6 \cdot 5 = 30$. O bien, puedes multiplicar primero $3 \cdot 5 = 15$ y luego $2 \cdot 15 = 30$.
Esta "libertad" para agrupar o asociar los números como tú quieras sin cambiar el resultado final es lo que llamamos la propiedad asociativa. Es súper útil cuando queremos hacer multiplicaciones difíciles de forma más sencilla mentalmente.
Explicación
La propiedad asociativa es una ley fundamental de la multiplicación en el conjunto de los números enteros ($\mathbb{Z}$). Formalmente, establece que si tenemos tres números enteros $a, b, c \in \mathbb{Z}$, entonces:
$$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$$
Esta propiedad nos permite prescindir de los paréntesis al escribir una multiplicación de múltiples factores, escribiéndola simplemente como $a \cdot b \cdot c$.
Utilidad didáctica y simplificación:
Al resolver cálculos complejos, podemos asociar los números de forma que generemos múltiplos de 10 o números más fáciles de multiplicar mentalmente. Por ejemplo, al calcular $(-5) \cdot 17 \cdot (-2)$, es mucho más sencillo asociar $(-5) \cdot (-2) = 10$, y luego multiplicar $10 \cdot 17 = 170$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los factores en la multiplicación de tres o más enteros.
- Paso 2: Agrupa o asocia dos de los factores utilizando paréntesis, buscando la combinación que facilite el cálculo (por ejemplo, obtener múltiplos de 10).
- Paso 3: Multiplica los factores agrupados y luego multiplica el resultado por el factor restante, respetando la regla de los signos.
Ejemplos
1 Calcula el producto $(-4) \cdot 13 \cdot (-25)$ utilizando la propiedad asociativa para simplificar el proceso.
- Paso a: Identificamos los factores: $-4$, $13$ y $-25$. Vemos que multiplicar $-4 \cdot (-25)$ da un número redondo ($100$).
- Paso b: Usamos la propiedad asociativa para agrupar estos factores: $[(-4) \cdot (-25)] \cdot 13$.
- Paso c: Calculamos el producto dentro del corchete: $(-4) \cdot (-25) = 100$.
- Paso d: Multiplicamos el resultado por el factor restante: $100 \cdot 13 = 1300$.
2 Calcula el producto $5 \cdot (-8) \cdot 2$ de dos formas distintas usando la propiedad asociativa.
- Paso a: Primera forma: Agrupamos los dos primeros factores: $[5 \cdot (-8)] \cdot 2 = (-40) \cdot 2 = -80$.
- Paso b: Segunda forma: Agrupamos los dos últimos factores: $5 \cdot [(-8) \cdot 2] = 5 \cdot (-16) = -80$.
- Paso c: Conclusión: En ambos casos el resultado es $-80$, lo que comprueba la propiedad asociativa.
3 ¿Cambia el resultado de $(-2) \cdot 3 \cdot (-5)$ si agrupamos primero $(-2) \cdot 3$?
- Agrupando primero los dos primeros factores: $[(-2) \cdot 3] \cdot (-5) = (-6) \cdot (-5) = 30$.
- Agrupando los dos últimos factores: $(-2) \cdot [3 \cdot (-5)] = (-2) \cdot (-15) = 30$.
- Por la propiedad asociativa, la forma de agrupar no altera el resultado final.
4 ¿Es la propiedad asociativa válida para cualquier número entero, incluyendo los negativos?
- La propiedad asociativa se cumple para todos los elementos del conjunto $\mathbb{Z}$.
- Esto incluye números enteros positivos, negativos y el cero.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Creer que la propiedad asociativa se aplica a la división de números enteros (la división no es asociativa)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la propiedad asociativa con la conmutativa (la conmutativa cambia el orden de los factores, la asociativa cambia su agrupación)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar aplicar la regla de los signos al multiplicar los grupos de números enteros."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asociar sumas y multiplicaciones de forma incorrecta mezclando las operaciones sin aplicar distributividad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que los paréntesis cambian el valor absoluto del resultado final de la multiplicación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La propiedad asociativa de la multiplicación establece que para tres números enteros cualesquiera $a$, $b$ y $c$, se cumple que $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$. La forma en que agrupemos los factores no altera el producto final.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si se sabe que $(a \cdot b) \cdot c = 40$, ¿cuál es el valor de $a \cdot (b \cdot c)$?
Por la propiedad asociativa de la multiplicación, ambas expresiones son equivalentes, por lo que su valor es idéntico.
Respuesta: $40$
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¿Cuál de las siguientes igualdades representa la propiedad asociativa de la multiplicación?
La forma $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ es la definición directa de la asociatividad.
Respuesta: $(-2 \cdot 5) \cdot 3 = -2 \cdot (5 \cdot 3)$
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La propiedad asociativa de la multiplicación en $\mathbb{Z}$ permite...
La propiedad asociativa indica que $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$, es decir, podemos agrupar de formas distintas.
Respuesta: Agrupar de formas distintas los factores sin cambiar el producto final.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes operaciones de multiplicación entre enteros muestra el uso de la propiedad asociativa?
Identifica la agrupación de factores usando corchetes.
Respuesta: $[(-3) \cdot 4] \cdot (-2) = -3 \cdot [4 \cdot (-2)]$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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La expresión $[(-2) \cdot (-3)] \cdot 5$ da el mismo resultado que $-2 \cdot [(-3) \cdot 5]$.
Por la propiedad asociativa, agrupar los dos primeros o los dos últimos factores da el mismo producto.
Respuesta: Verdadero
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Para simplificar el cálculo de $5 \cdot 7 \cdot (-2)$ podemos asociar primero $5 \cdot (-2)$, obteniendo $-10 \cdot 7 = -70$.
Asociar factores para obtener múltiplos de 10 es una técnica correcta y recomendada.
Respuesta: Verdadero
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La propiedad asociativa también es aplicable a la división de enteros, por ejemplo, $(12 \div 4) \div 2$ es igual a $12 \div (4 \div 2)$.
La división no es asociativa. $(12 \div 4) \div 2 = 3 \div 2 = 1.5$, mientras que $12 \div (4 \div 2) = 12 \div 2 = 6$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Tres estudiantes resuelven la multiplicación $(-5) \cdot 17 \cdot (-20)$. Diego calcula primero $(-5) \cdot 17$; Sofía calcula primero $17 \cdot (-20)$; y Tomás calcula primero $(-5) \cdot (-20)$. Con respecto a los resultados obtenidos por los estudiantes, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
Por las propiedades conmutativa y asociativa, el orden y la agrupación de los factores no altera el producto: $(-5) \cdot (-20) = 100$, y $100 \cdot 17 = 1700$.
Respuesta: Los tres obtendrán exactamente el mismo resultado ($1700$) debido a la asociatividad y conmutatividad.
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Un comerciante compra 4 cajas de lápices. Cada caja contiene 25 paquetes, y cada paquete tiene 12 lápices. Para calcular el total de lápices, él asocia el cálculo como $(4 \cdot 25) \cdot 12$ en lugar de $4 \cdot (25 \cdot 12)$. ¿Cuál es la principal ventaja matemática de esta decisión?
Agrupar $4 \cdot 25$ da $100$, lo cual hace que multiplicar por $12$ sea inmediato ($1200$).
Respuesta: Obtiene un múltiplo de 100 ($4 \cdot 25 = 100$) facilitando la multiplicación mental posterior.
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Se tiene la expresión $P = x \cdot (y \cdot z)$ donde $x, y, z$ son enteros tales que el producto de $x$ e $y$ es $-10$ y $z$ es $-8$. ¿De qué manera se puede calcular el valor de $P$ utilizando propiedades de la multiplicación?
Por la propiedad asociativa, $P = x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$. Reemplazando los valores dados: $(-10) \cdot (-8) = 80$.
Respuesta: Agrupando $P = (x \cdot y) \cdot z$, lo que resulta en $-10 \cdot (-8) = 80$.