Prioridad de operaciones: El orden PAPOMUDAS
Aplicar la regla de prioridad PAPOMUDAS para resolver operaciones combinadas de números enteros sin cometer errores de jerarquía.
Introducción
Imagina que estás armando un mueble de juguete. Si no sigues las instrucciones en el orden correcto, ¡el mueble podría quedar cojo o desarmarse!
En matemáticas pasa lo mismo cuando combinamos sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y paréntesis. Necesitamos un orden para que todos obtengamos el mismo resultado.
Ese orden lo recordamos con la palabra mágica PAPOMUDAS:
- PA: Paréntesis
- PO: Potencias
- MU: Multiplicación
- D: División
- A: Adición (Suma)
- S: Sustracción (Resta)
¡Si sigues este orden, resolverás cualquier cálculo combinado a la perfección!
Explicación
Cuando resolvemos expresiones aritméticas complejas en el conjunto de los enteros ($\mathbb{Z}$), debemos seguir la convención de prioridades conocida como PAPOMUDAS. Esta regla jerárquica evita ambigüedades en la interpretación de los cálculos.
El orden de prioridad de arriba hacia abajo es:
1. PAréntesis: Desde el más interno hacia el más externo.
2. POtencias: (se estudiarán en unidades posteriores).
3. MUltipliación y División: Tienen la misma prioridad. Si aparecen juntas, se resuelven estrictamente de izquierda a derecha.
4. Adición y Sustracción: Tienen la misma prioridad. Si aparecen juntas, se resuelven de izquierda a derecha.
Advertencia sobre la regla de izquierda a derecha:
Un error común es resolver siempre la multiplicación antes de la división debido al orden de las letras en el acrónimo. Por ejemplo, en $12 \div 3 \cdot 2$, el orden correcto de izquierda a derecha es primero dividir $12 \div 3 = 4$ y luego multiplicar $4 \cdot 2 = 8$. Resolver la multiplicación primero daría $12 \div 6 = 2$, lo cual es incorrecto.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Examina la expresión y resuelve primero las operaciones dentro de los paréntesis (PA).
- Paso 2: Resuelve las potencias (PO) presentes.
- Paso 3: Identifica las multiplicaciones y divisiones (MU-D) y resuélvelas en el orden en que aparecen de izquierda a derecha.
- Paso 4: Identifica las sumas y restas (A-S) y resuélvelas de izquierda a derecha.
Ejemplos
1 Resuelve la operación combinada: $5 + (-3) \cdot 4 - 12 \div (-6)$
- Paso a: Buscamos paréntesis con operaciones dentro. No hay (los paréntesis solo protegen los signos negativos).
- Paso b: Resolvemos multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. Primero la multiplicación: $(-3) \cdot 4 = -12$. La expresión queda: $5 + (-12) - 12 \div (-6)$.
- Paso c: Resolvemos la división: $12 \div (-6) = -2$. La expresión queda: $5 + (-12) - (-2)$.
- Paso d: Resolvemos sumas y restas de izquierda a derecha: $5 - 12 = -7$. Luego $-7 - (-2) = -7 + 2 = -5$.
2 Resuelve la expresión: $24 \div (-4) \cdot 2$
- Paso a: Identificamos que la división y la multiplicación tienen la misma prioridad.
- Paso b: Resolvemos estrictamente de izquierda a derecha, comenzando con la división: $24 \div (-4) = -6$.
- Paso c: Multiplicamos el resultado por 2: $-6 \cdot 2 = -12$.
3 ¿Da el mismo resultado resolver $(8 + 2) \cdot 3$ que $8 + 2 \cdot 3$?
- En $(8 + 2) \cdot 3$, el paréntesis tiene prioridad: $10 \cdot 3 = 30$.
- En $8 + 2 \cdot 3$, la multiplicación tiene prioridad: $8 + 6 = 14$.
- Los resultados son distintos ($30$ y $14$), lo que resalta la importancia de la jerarquía.
4 ¿Es correcto resolver siempre las multiplicaciones antes que las divisiones?
- La multiplicación y la división tienen exactamente el mismo nivel de prioridad.
- Deben resolverse en el orden en que aparecen de izquierda a derecha.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Resolver las operaciones en el orden físico de lectura (de izquierda a derecha) sin respetar las prioridades (ej: en $2 + 3 \cdot 4$, calcular primero $2 + 3 = 5$ y luego $5 \cdot 4 = 20$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Realizar siempre las multiplicaciones antes que las divisiones por el orden de las letras en PAPOMUDAS."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Ignorar la prioridad de los paréntesis y resolver primero lo que está fuera."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar mal las reglas de signos al juntar los resultados intermedios."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar resolver de izquierda a derecha cuando quedan operaciones del mismo nivel (como restas consecutivas)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La prioridad de operaciones determina el orden estricto en que se deben resolver las operaciones combinadas: Paréntesis, Potencias, Multiplicación y División (de izquierda a derecha), y Adición y Sustracción (de izquierda a derecha). Se resume con el acrónimo PAPOMUDAS.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En la operación combinada $18 \div 3 \cdot 2$, ¿cuál es el orden correcto de resolución y su resultado?
Multiplicación y división tienen igual jerarquía, por lo que resolvemos de izquierda a derecha: $18 \div 3 = 6$ y luego $6 \cdot 2 = 12$.
Respuesta: Primero la división, luego la multiplicación; resultado $12$.
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De acuerdo con el orden de prioridad de operaciones PAPOMUDAS, ¿qué operaciones tienen la misma prioridad y se resuelven de izquierda a derecha?
Tanto la multiplicación como la división comparten el mismo nivel de prioridad en la jerarquía, resolviéndose en el orden en que aparecen de izquierda a derecha.
Respuesta: La multiplicación y la división.
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¿Cuál es el significado del acrónimo PAPOMUDAS?
Es el acrónimo nemotécnico utilizado para recordar el orden jerárquico de resolución de operaciones combinadas.
Respuesta: Paréntesis, Potencias, Multiplicación, División, Adición y Sustracción.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Qué operación debe realizarse en primer lugar al resolver la expresión $15 + [ 4 - 3 \cdot (-2) ] \div 2$?
Siguiendo la regla, primero resolvemos lo que está dentro del corchete (PA). Dentro de este, la multiplicación tiene prioridad sobre la resta.
Respuesta: La multiplicación dentro del paréntesis corchete ($3 \cdot (-2)$).
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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El resultado de la operación combinada $4 + 5 \cdot (-2)$ es $-6$.
Primero multiplicamos: $5 \cdot (-2) = -10$. Luego sumamos: $4 + (-10) = -6$.
Respuesta: Verdadero
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En la expresión $12 - 3 - 2$, el resultado es $11$ porque primero se calcula $3 - 2 = 1$ y luego $12 - 1 = 11$.
Adición y sustracción se resuelven de izquierda a derecha: $12 - 3 = 9$, luego $9 - 2 = 7$.
Respuesta: Falso
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En la operación $30 \div (5 \cdot 2)$, el paréntesis obliga a multiplicar antes de dividir.
Los paréntesis (PA) tienen la máxima prioridad jerárquica, alterando el orden estándar de izquierda a derecha.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Cuatro estudiantes calculan el valor de la expresión $E = -5 + 15 \div (-3) \cdot 2$. Sus respuestas son:\n- Juan: $-15$\n- Pedro: $-6$\n- Ana: $-10$\n- María: $-16$\n¿Cuál de los estudiantes aplicó de manera correcta la prioridad de operaciones PAPOMUDAS?
Multiplicaciones y divisiones se resuelven de izquierda a derecha. Primero dividimos: $15 \div (-3) = -5$. Luego multiplicamos: $-5 \cdot 2 = -10$. Finalmente sumamos: $-5 + (-10) = -15$. Por lo tanto, Juan está en lo correcto.
Respuesta: Juan
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Un comerciante compra 5 sacos de papas a $\$12.000$ cada uno y recibe un descuento de $\$2.000$ por saco. Luego, reparte el costo total en partes iguales entre sus 3 socios. ¿Cuál de las siguientes expresiones matemáticas representa de forma correcta el dinero que debe pagar cada socio?
El costo neto por saco es $(12000 - 2000)$. Como son 5 sacos, el costo total es $5 \cdot (12000 - 2000)$. Este total se divide entre los 3 socios: $5 \cdot (12000 - 2000) \div 3$.
Respuesta: $5 \cdot (12000 - 2000) \div 3$
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Un carpintero está diseñando una escalera. Para calcular la altura de cada escalón en centímetros, plantea la expresión: $H = (200 - 80) \div 6 + 5$. Si el carpintero comete un error y olvida el paréntesis, resolviendo la operación como $200 - 80 \div 6 + 5$. ¿Cuántos centímetros de diferencia habrá entre la altura calculada incorrectamente y la correcta? (Considere divisiones exactas redondeando al entero más cercano, $80 \div 6 \approx 13$)
Cálculo correcto: $H = 120 \div 6 + 5 = 20 + 5 = 25$. Cálculo incorrecto: $H_{inc} = 200 - 13 + 5 = 187 + 5 = 192$. Diferencia: $192 - 25 = 167$ cm.
Respuesta: $167$ cm