Multiplicación de enteros: Regla de signos iguales
Resumen inicial
La multiplicación de dos enteros del mismo signo resulta siempre en un producto positivo: $(+) \cdot (+) = +$ y $(-) \cdot (-) = +$.
Explicación en palabras simples
Cuando multiplicamos dos números que tienen el mismo signo, el resultado final es siempre un número positivo. Esto ocurre tanto si multiplicamos dos enteros positivos como si multiplicamos dos enteros negativos, ya que la negación de una dirección negativa invierte el sentido hacia el lado positivo.
Explicación formal
Para dos enteros $a, b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ tales que $\operatorname{sgn}(a) = \operatorname{sgn}(b)$, el Producto de Signos Iguales se define como:
$$a \cdot b = +\left( |a| \cdot |b| \right) > 0$$
Desglose de la fórmula:
- $|a| \cdot |b|$: Producto de los valores absolutos de ambos factores.
- $+(\dots)$: Signo positivo resultante garantizado por la concordancia de polaridad.
Complemento didáctico: $(-4) \cdot (-3) = +12$, pues el signo menos del segundo factor invierte la dirección del primer factor negativo hacia la región positiva.
La alternativa correcta es '40', ya que la multiplicación de dos enteros negativos da resultado positivo.
Definiciones clave
- Regla de signos iguales: Norma donde $(+) \cdot (+) = +$ y $(-) \cdot (-) = +$.
Propiedades y relaciones importantes
- Potencias pares: Una base negativa elevada a un exponente par resulta positiva por esta regla ($(-x)^2 = +x^2$).
Ejemplo guiado
Calcule el producto de dos enteros negativos $(-6) \cdot (-7)$.
- Paso 1: Identificar los signos de ambos factores: ambos son negativos.
- Paso 2: Aplicar la regla de signos iguales: $(-) \cdot (-) = +$.
- Paso 3: Multiplicar los valores absolutos: $6 \cdot 7 = 42$.
- Conclusión: $(-6) \cdot (-7) = 42$.
La alternativa correcta es 'Positivo'.
Procedimiento
- Paso 1: Multiplicar los valores absolutos de los dos factores.
- Paso 2: Comprobar que ambos tengan el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos).
- Paso 3: Asignar un signo positivo ($+$) al resultado final.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Creer que al multiplicar dos negativos el resultado es negativo. Cómo corregirlo: La regla de multiplicación establece que $(-) \cdot (-) = +$.
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Error 2: Confundir $(-3) \cdot (-5)$ con $(-3) + (-5)$. Cómo corregirlo: La multiplicación de negativos da $+15$, mientras que la suma da $-8$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $(-) \cdot (-) = +$. $9 \cdot 4 = 36$.
- $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$.
- Sí, por la regla de signos iguales $(-) \cdot (-) = +$.
- No, $(-3) \cdot (-3) = +9$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Calcular la multiplicación de números enteros con el mismo signo.
Multiplicando sus valores absolutos $|a| \cdot |b|$ y asignando obligatoriamente signo positivo: $(+a) \cdot (+b) = +ab$ y $(-a) \cdot (-b) = +ab$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es el signo del resultado al multiplicar dos enteros que tienen el mismo signo?
La regla de signos para la multiplicación establece que $(+) \cdot (+) = (+)$ y $(-) \cdot (-) = (+)$.
Respuesta: Siempre positivo
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Al multiplicar $(-5) \cdot (-9)$, ¿por qué el resultado es positivo?
Al multiplicar dos números de igual signo, el resultado siempre es positivo.
Respuesta: Porque ambos factores son negativos (mismo signo).
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¿Qué se hace con los valores absolutos de los factores al multiplicar dos enteros de igual signo?
El valor absoluto del producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
Respuesta: Se multiplican entre sí.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Identifica cuál de las siguientes operaciones corresponde a una multiplicación de enteros con igual signo.
Ambos factores son negativos, por lo que tienen signos iguales y es una multiplicación.
Respuesta: $(-7) \cdot (-8)$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El producto $(-12) \cdot (-5)$ es igual a $60$?
Ambos son negativos (igual signo), por lo que el producto es positivo: $12 \cdot 5 = 60$.
Respuesta: Verdadero
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¿El resultado de $(-3) \cdot (-3) \cdot (-3)$ es positivo?
$(-3) \cdot (-3) = +9$ (positivo). Luego $(+9) \cdot (-3) = -27$ (negativo, signos distintos).
Respuesta: Falso
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¿El cuadrado de cualquier número entero distinto de cero siempre es positivo?
Elevar al cuadrado significa multiplicar el número por sí mismo, es decir, dos factores de igual signo, lo cual siempre es positivo.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si $a$ y $b$ son dos enteros negativos tales que $a \cdot b = 48$. Si se sabe que $a = -6$, ¿cuál es el valor de $b$?
Como el producto es positivo ($48$), los factores deben tener el mismo signo. Como $a = -6$ (negativo), $b$ debe ser negativo. Buscamos $b$ tal que $6 \cdot |b| = 48 \Rightarrow |b| = 8 \Rightarrow b = -8$.
Respuesta: $-8$
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Si $x$ es un número entero negativo, ¿cuál de las siguientes expresiones representa siempre un número entero positivo?
$x^2 = x \cdot x$. Como es el producto de dos enteros con el mismo signo, el resultado siempre será positivo.
Respuesta: $x^2$
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Una constructora compra $8$ terrenos baldíos y contrae una deuda de $\$2.000.000$ por cada uno. Si tiempo después anula $(-)$ la compra de los $8$ terrenos, ¿cuál es el impacto financiero final de esta anulación?
Anular equivale a $-8$ compras, y cada compra representa una pérdida de $-2.000.000$. El producto es $(-8) \cdot (-2.000.000) = +16.000.000$.
Respuesta: Un beneficio de $\$16.000.000$ (saldo a favor)