Multiplicación de enteros: Regla de signos iguales
Multiplicar números enteros que tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos).
Introducción
Seguramente ya sabes que al multiplicar dos números positivos, el resultado es positivo (por ejemplo, $3 \cdot 4 = 12$). Pero, ¿qué pasa cuando multiplicamos dos números negativos, como $-3$ y $-4$?
¡Sorpresa! El resultado también es positivo: $(-3) \cdot (-4) = 12$.
Aunque pueda parecer extraño al principio, multiplicar dos cantidades del mismo signo siempre nos da una respuesta positiva. Es como si los dos signos negativos se cancelaran entre sí para volverse positivos.
Esta es una regla básica y muy importante en las matemáticas.
Explicación
La multiplicación de enteros con igual signo se basa en la regla de los signos.
Cuando multiplicamos dos factores, calculamos el producto de sus valores absolutos y luego determinamos el signo del resultado según la siguiente regla:
1. Dos factores positivos: El producto de dos enteros positivos es positivo.
$$(+a) \cdot (+b) = +(a \cdot b)$$
Ejemplo: $(+6) \cdot (+5) = 30$.
2. Dos factores negativos: El producto de dos enteros negativos también es positivo.
$$(-a) \cdot (-b) = +(a \cdot b)$$
Ejemplo: $(-6) \cdot (-5) = 30$.
¿Por qué el producto de dos negativos es positivo?
Una forma intuitiva de entenderlo es ver la multiplicación como la negación de una acción:
- Si una deuda de $5$ se reduce o quita $(-)$ en $3$ oportunidades, se está dejando de deber $15$, lo cual equivale a un beneficio o saldo a favor de $+15$:
$$(-3) \cdot (-5) = +15$$
- Algebraicamente, se deduce usando la propiedad distributiva para mantener la coherencia matemática de la aritmética en el conjunto $\mathbb{Z}$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identificar los dos factores y verificar que tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos).
- Paso 2: Calcular el valor absoluto de cada factor (eliminar temporalmente sus signos).
- Paso 3: Multiplicar los valores absolutos obtenidos.
- Paso 4: Escribir el resultado final como un número positivo (puede omitirse el signo $+$).
Ejemplos
1 Calcular el producto: $(-8) \cdot (-7)$.
- Identificar los signos: ambos números son negativos.
- Calcular valores absolutos: $|-8| = 8$ y $|-7| = 7$.
- Multiplicar los valores absolutos: $8 \cdot 7 = 56$.
- Dado que tienen el mismo signo, el resultado es positivo: $56$.
2 Calcular el resultado de $(-12) \cdot (-3)$.
- Identificar los signos: ambos factores son negativos.
- Calcular valores absolutos: $|-12| = 12$ y $|-3| = 3$.
- Multiplicar los valores absolutos: $12 \cdot 3 = 36$.
- El resultado final es positivo: $36$.
3 ¿El producto de tres números negativos es positivo?
- Al multiplicar los dos primeros negativos, el resultado es positivo por tener igual signo.
- Luego, multiplicamos ese resultado positivo por el tercer número negativo.
- Al multiplicar positivo por negativo (distinto signo), el resultado final es negativo.
- Por ejemplo, $(-2) \cdot (-3) \cdot (-4) = (+6) \cdot (-4) = -24$.
4 ¿Es $(-5) \cdot (-5)$ equivalente a $(-5)^2$?
- Por definición de potencia, elevar un número a la dos es multiplicarlo por sí mismo: $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5)$.
- Como ambos factores tienen el mismo signo, el resultado de la multiplicación es positivo ($25$).
- Por lo tanto, $(-5)^2 = 25$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Creer que al multiplicar dos números negativos el resultado sigue siendo negativo por 'mantener el signo común' (confundiendo con la regla de la suma)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Escribir el signo menos en el resultado de $(-a) \cdot (-b)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la multiplicación con la suma y decir que $(-4) \cdot (-3) = -7$ en vez de $+12$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que la regla de signos de igual signo solo aplica cuando los números son mayores a 10."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que al elevar un número negativo al cuadrado el resultado es negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al multiplicar dos números enteros con igual signo (ambos positivos o ambos negativos), el resultado es siempre un número entero positivo. Su valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. Es decir: $(+) \cdot (+) = (+)$ y $(-) \cdot (-) = (+)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es el signo del resultado al multiplicar dos enteros que tienen el mismo signo?
La regla de signos para la multiplicación establece que $(+) \cdot (+) = (+)$ y $(-) \cdot (-) = (+)$.
Respuesta: Siempre positivo
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Al multiplicar $(-5) \cdot (-9)$, ¿por qué el resultado es positivo?
Al multiplicar dos números de igual signo, el resultado siempre es positivo.
Respuesta: Porque ambos factores son negativos (mismo signo).
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¿Qué se hace con los valores absolutos de los factores al multiplicar dos enteros de igual signo?
El valor absoluto del producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
Respuesta: Se multiplican entre sí.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Identifica cuál de las siguientes operaciones corresponde a una multiplicación de enteros con igual signo.
Ambos factores son negativos, por lo que tienen signos iguales y es una multiplicación.
Respuesta: $(-7) \cdot (-8)$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El producto $(-12) \cdot (-5)$ es igual a $60$?
Ambos son negativos (igual signo), por lo que el producto es positivo: $12 \cdot 5 = 60$.
Respuesta: Verdadero
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¿El resultado de $(-3) \cdot (-3) \cdot (-3)$ es positivo?
$(-3) \cdot (-3) = +9$ (positivo). Luego $(+9) \cdot (-3) = -27$ (negativo, signos distintos).
Respuesta: Falso
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¿El cuadrado de cualquier número entero distinto de cero siempre es positivo?
Elevar al cuadrado significa multiplicar el número por sí mismo, es decir, dos factores de igual signo, lo cual siempre es positivo.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si $a$ y $b$ son dos enteros negativos tales que $a \cdot b = 48$. Si se sabe que $a = -6$, ¿cuál es el valor de $b$?
Como el producto es positivo ($48$), los factores deben tener el mismo signo. Como $a = -6$ (negativo), $b$ debe ser negativo. Buscamos $b$ tal que $6 \cdot |b| = 48 \Rightarrow |b| = 8 \Rightarrow b = -8$.
Respuesta: $-8$
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Si $x$ es un número entero negativo, ¿cuál de las siguientes expresiones representa siempre un número entero positivo?
$x^2 = x \cdot x$. Como es el producto de dos enteros con el mismo signo, el resultado siempre será positivo.
Respuesta: $x^2$
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Una constructora compra $8$ terrenos baldíos y contrae una deuda de $\$2.000.000$ por cada uno. Si tiempo después anula $(-)$ la compra de los $8$ terrenos, ¿cuál es el impacto financiero final de esta anulación?
Anular equivale a $-8$ compras, y cada compra representa una pérdida de $-2.000.000$. El producto es $(-8) \cdot (-2.000.000) = +16.000.000$.
Respuesta: Un beneficio de $\$16.000.000$ (saldo a favor)