Multiplicación de enteros: Regla de signos distintos
Resumen inicial
La multiplicación de dos enteros de distinto signo resulta siempre en un producto negativo: $(+) \cdot (-) = -$ y $(-) \cdot (+) = -$.
Explicación en palabras simples
Cuando multiplicamos un número positivo por uno negativo (o viceversa), el resultado final es siempre un número negativo. Esto se debe a que estamos repitiendo una cantidad negativa varias veces (como acumular varias deudas) o invirtiendo el sentido de un número positivo.
Explicación formal
Para dos enteros $a, b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ tales que $\operatorname{sgn}(a) \neq \operatorname{sgn}(b)$, el Producto de Signos Distintos se define como:
$$a \cdot b = -\left( |a| \cdot |b| \right) < 0$$
Desglose de la fórmula:
- $|a| \cdot |b|$: Producto de las magnitudes absolutas.
- $-(\dots)$: Signo negativo resultante garantizado por la diferencia de polaridad.
Complemento didáctico: $5 \cdot (-4) = -20$, pues sumar 5 veces la deuda $-4$ da una deuda total de $-20$.
La alternativa correcta es '-42', ya que la multiplicación de signos distintos da resultado negativo.
Definiciones clave
- Regla de signos distintos: Norma donde $(+) \cdot (-) = -$ y $(-) \cdot (+) = -$.
Propiedades y relaciones importantes
- Potencias impares: Una base negativa elevada a un exponente impar resulta negativa por esta regla ($(-x)^3 = -x^3$).
Ejemplo guiado
Calcule el producto de enteros de distinto signo $8 \cdot (-5)$.
- Paso 1: Identificar los signos de ambos factores: $8$ es positivo y $-5$ es negativo.
- Paso 2: Aplicar la regla de signos distintos: $(+) \cdot (-) = -$.
- Paso 3: Multiplicar las magnitudes: $8 \cdot 5 = 40$.
- Conclusión: $8 \cdot (-5) = -40$.
La alternativa correcta es '-40'.
Procedimiento
- Paso 1: Multiplicar los valores absolutos de los factores.
- Paso 2: Comprobar que los factores tengan signos opuestos (uno positivo y otro negativo).
- Paso 3: Asignar un signo negativo ($-$) al producto final.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Creer que el signo del producto lo impone el número de mayor valor absoluto. Cómo corregirlo: En la multiplicación de distinto signo el resultado es SIEMPRE negativo, sin importar qué número sea mayor en módulo.
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Error 2: Olvidar el signo negativo al multiplicar una variable por un entero negativo. Cómo corregirlo: $(-3) \cdot x = -3x$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $(-) \cdot (+) = -$. $12 \cdot 3 = 36 \implies -36$.
- $5 \cdot (-4000) = -20000$ dólares.
- Sí, $(+) \cdot (-) = -$.
- No, $(-2) \cdot 9 = -18$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Calcular la multiplicación de números enteros con distinto signo.
Multiplicando sus valores absolutos $|a| \cdot |b|$ y asignando obligatoriamente signo negativo: $(+a) \cdot (-b) = -ab$ y $(-a) \cdot (+b) = -ab$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es el signo del producto de dos números enteros con diferente signo?
La multiplicación de un positivo y un negativo siempre resulta en un número negativo por regla de signos: $(+) \cdot (-) = (-)$.
Respuesta: Siempre negativo
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¿Cuál es la forma correcta de interpretar la operación $(+3) \cdot (-6)$ como una suma repetida?
Multiplicar por $3$ positivo significa sumar el número negativo $-6$ tres veces consecutivas.
Respuesta: $(-6) + (-6) + (-6)$
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Al multiplicar $(-10) \cdot (+5)$, ¿cuál es el valor absoluto del resultado?
El valor absoluto del producto es el producto de los valores absolutos: $|-10| \cdot |+5| = 10 \cdot 5 = 50$.
Respuesta: $50$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Identifica cuál de las siguientes multiplicaciones corresponde a factores con diferente signo.
$-4$ es negativo y $+9$ es positivo, por lo que tienen signos distintos y es una multiplicación.
Respuesta: $(-4) \cdot (+9)$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El resultado de $(-15) \cdot (+4)$ es un número positivo?
Al multiplicar un número negativo por uno positivo, el resultado es siempre negativo ($-60$).
Respuesta: Falso
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¿Multiplicar cualquier número entero por $-1$ da como resultado el opuesto de ese número?
Sí, multiplicar un número por $-1$ conserva su valor absoluto pero cambia su signo (ley de signos de distinto signo), lo cual corresponde a la definición de opuesto.
Respuesta: Verdadero
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¿El producto $(+8) \cdot (-7)$ es igual a $-56$?
Sí. Tienen signos diferentes, por lo que el resultado es negativo: $-(8 \cdot 7) = -56$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si $p$ es un número entero positivo y $q$ es un número entero negativo, ¿cuál de las siguientes expresiones representa siempre un número negativo?
El producto de un número positivo por uno negativo siempre es negativo. Las sumas o restas dependen del valor absoluto de los términos.
Respuesta: $p \cdot q$
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La temperatura en una montaña disminuye a razón constante de $3\,^{\circ}\text{C}$ por cada hora transcurrida. ¿Cuál será el cambio de temperatura acumulado tras $6$ horas de descenso?
El cambio horario es $-3$ y el tiempo es $+6$. Multiplicamos los factores de distinto signo: $6 \cdot (-3) = -18\,^{\circ}\text{C}$.
Respuesta: $-18\,^{\circ}\text{C}$
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Una persona gasta $\$4.500$ diariamente en transporte público. Si queremos saber el cambio de saldo total en su billetera después de $5$ días, ¿cómo se representa esta situación y cuál es su resultado?
El gasto diario es $-4.500$ y se repite por $5$ días. Multiplicamos positivo por negativo: $5 \cdot (-4.500) = -22.500$.
Respuesta: $5 \cdot (-4.500) = -22.500$ pesos