Multiplicación de enteros: Regla de signos distintos
Multiplicar números enteros que tienen signos diferentes (uno positivo y uno negativo).
Introducción
Imagina que tienes una suscripción mensual que te cobra $5 cada mes ($-5$). Si mantienes esa suscripción por 3 meses ($+3$), ¿cuánto dinero habrás perdido en total? Habrás perdido $15 ($-15$).
En matemáticas, representamos esto como multiplicar un número positivo por uno negativo: $3 \cdot (-5) = -15$.
Multiplicar números con distinto signo es como acumular deudas o pérdidas a lo largo del tiempo. Por eso, el resultado siempre será una cantidad negativa.
Explicación
La multiplicación de enteros de distinto signo sigue la regla fundamental de los signos para la multiplicación.
Cuando multiplicamos un factor positivo por uno negativo, calculamos el producto de sus valores absolutos y el signo del resultado siempre es negativo:
- Positivo por negativo:
$$(+a) \cdot (-b) = -(a \cdot b)$$
Ejemplo: $(+4) \cdot (-6) = -24$.
- Negativo por positivo:
$$(-a) \cdot (+b) = -(a \cdot b)$$
Ejemplo: $(-4) \cdot (+6) = -24$.
¿Por qué el producto de distinto signo es negativo?
Podemos interpretarlo como la suma repetida de un número negativo. Por ejemplo, multiplicar $3 \cdot (-5)$ significa sumar $-5$ tres veces:
$$(-5) + (-5) + (-5) = -15$$
Dado que estamos sumando cantidades de deuda (negativas), el resultado es inevitablemente negativo.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identificar los dos factores y verificar que tienen signos diferentes (uno es positivo y el otro es negativo).
- Paso 2: Calcular el valor absoluto de cada factor.
- Paso 3: Multiplicar los valores absolutos obtenidos.
- Paso 4: Escribir el resultado final precedido por el signo negativo ($-$).
Ejemplos
1 Calcular el producto: $(+9) \cdot (-4)$.
- Identificar los signos: el primer factor es positivo ($+9$) y el segundo es negativo ($-4$).
- Calcular valores absolutos: $|+9| = 9$ y $|-4| = 4$.
- Multiplicar los valores absolutos: $9 \cdot 4 = 36$.
- Dado que tienen signos distintos, colocamos el signo menos: $-36$.
2 Calcular el resultado de $(-15) \cdot (+3)$.
- Identificar los signos: los factores tienen signos opuestos.
- Calcular valores absolutos: $|-15| = 15$ y $|+3| = 3$.
- Multiplicar los valores absolutos: $15 \cdot 3 = 45$.
- El resultado final es negativo: $-45$.
3 ¿El producto de un número entero negativo por uno positivo puede dar un número positivo?
- Por la regla de los signos, el producto de dos números con distinto signo siempre es negativo.
- No existe ninguna combinación de números distintos de cero con signos contrarios cuyo producto sea positivo.
- Si uno de los números fuera cero, el producto sería cero, que tampoco es positivo.
4 ¿La expresión $(-1) \cdot a$ da como resultado el opuesto de $a$ para cualquier entero $a$?
- Si multiplicamos $(-1) \cdot a$ por un entero positivo $a$, el resultado es $-a$ (el opuesto de $a$).
- Si multiplicamos $(-1) \cdot a$ por un entero negativo $a$ (digamos $a = -x$ con $x > 0$), el resultado es $+x$ (el opuesto de $-x$).
- Si $a = 0$, el resultado es $0$, que es el opuesto de $0$.
- Por lo tanto, multiplicar por $-1$ siempre equivale a calcular el opuesto del número.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Decidir el signo del producto según el número con mayor valor absoluto (ej: creer que $(-10) \cdot (+2) = -20$ porque $10$ es mayor, pero que $(-2) \cdot (+10) = +20$ lo cual es un error)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumar los números en lugar de multiplicarlos (ej: decir que $(-5) \cdot (+3) = -2$ en vez de $-15$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la regla de signos de la adición, asumiendo que el resultado puede ser positivo si el número positivo es más grande."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar escribir el signo negativo en el resultado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que la multiplicación por un número negativo siempre disminuye el valor absoluto del número original."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al multiplicar dos números enteros con diferente signo (uno positivo y uno negativo), el resultado es siempre un número entero negativo. Su valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. Es decir: $(+) \cdot (-) = (-)$ y $(-) \cdot (+) = (-)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es el signo del producto de dos números enteros con diferente signo?
La multiplicación de un positivo y un negativo siempre resulta en un número negativo por regla de signos: $(+) \cdot (-) = (-)$.
Respuesta: Siempre negativo
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¿Cuál es la forma correcta de interpretar la operación $(+3) \cdot (-6)$ como una suma repetida?
Multiplicar por $3$ positivo significa sumar el número negativo $-6$ tres veces consecutivas.
Respuesta: $(-6) + (-6) + (-6)$
-
Al multiplicar $(-10) \cdot (+5)$, ¿cuál es el valor absoluto del resultado?
El valor absoluto del producto es el producto de los valores absolutos: $|-10| \cdot |+5| = 10 \cdot 5 = 50$.
Respuesta: $50$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Identifica cuál de las siguientes multiplicaciones corresponde a factores con diferente signo.
$-4$ es negativo y $+9$ es positivo, por lo que tienen signos distintos y es una multiplicación.
Respuesta: $(-4) \cdot (+9)$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El resultado de $(-15) \cdot (+4)$ es un número positivo?
Al multiplicar un número negativo por uno positivo, el resultado es siempre negativo ($-60$).
Respuesta: Falso
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¿Multiplicar cualquier número entero por $-1$ da como resultado el opuesto de ese número?
Sí, multiplicar un número por $-1$ conserva su valor absoluto pero cambia su signo (ley de signos de distinto signo), lo cual corresponde a la definición de opuesto.
Respuesta: Verdadero
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¿El producto $(+8) \cdot (-7)$ es igual a $-56$?
Sí. Tienen signos diferentes, por lo que el resultado es negativo: $-(8 \cdot 7) = -56$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Si $p$ es un número entero positivo y $q$ es un número entero negativo, ¿cuál de las siguientes expresiones representa siempre un número negativo?
El producto de un número positivo por uno negativo siempre es negativo. Las sumas o restas dependen del valor absoluto de los términos.
Respuesta: $p \cdot q$
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La temperatura en una montaña disminuye a razón constante de $3\,^{\circ}\text{C}$ por cada hora transcurrida. ¿Cuál será el cambio de temperatura acumulado tras $6$ horas de descenso?
El cambio horario es $-3$ y el tiempo es $+6$. Multiplicamos los factores de distinto signo: $6 \cdot (-3) = -18\,^{\circ}\text{C}$.
Respuesta: $-18\,^{\circ}\text{C}$
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Una persona gasta $\$4.500$ diariamente en transporte público. Si queremos saber el cambio de saldo total en su billetera después de $5$ días, ¿cómo se representa esta situación y cuál es su resultado?
El gasto diario es $-4.500$ y se repite por $5$ días. Multiplicamos positivo por negativo: $5 \cdot (-4.500) = -22.500$.
Respuesta: $5 \cdot (-4.500) = -22.500$ pesos