Indefinición de la división por cero
Explicar por qué la división por cero no está definida en los números enteros y reconocer expresiones indeterminadas.
Introducción
Imagina que tienes 12 manzanas y quieres repartirlas en partes iguales entre 0 personas. ¿Cuántas manzanas le tocan a cada persona?
Esta pregunta no tiene sentido porque, ¡no hay nadie a quien entregarle las manzanas!
En matemáticas, la división por cero es una operación prohibida o, técnicamente, no definida.
Intentar dividir por cero es como un error en una computadora: rompe las reglas del juego porque no hay ningún número que pueda ser una respuesta válida.
Explicación
En matemáticas, la división por cero no tiene definición. Para entender por qué, analicemos la relación entre la división y la multiplicación en los enteros ($\mathbb{Z}$).
La división $a \div b = c$ se define como la búsqueda de un número entero $c$ tal que:
$$c \cdot b = a$$
Si intentamos dividir un número entero distinto de cero por cero, por ejemplo $5 \div 0 = c$, estaríamos buscando un número entero $c$ que cumpla:
$$c \cdot 0 = 5$$
Sin embargo, sabemos por la propiedad del elemento absorbente del cero que cualquier número multiplicado por cero es cero ($c \cdot 0 = 0$). Por lo tanto, es imposible encontrar un valor para $c$ que sea igual a $5$. No existe solución.
El caso especial de cero dividido por cero ($0 \div 0$):
Si planteamos $0 \div 0 = c$, buscamos un número $c$ tal que:
$$c \cdot 0 = 0$$
En este caso, cualquier número entero ($1, -5, 100$, etc.) cumple la ecuación. Como la respuesta no es única, la división sigue sin estar definida (se dice que es indeterminada).
Por lo tanto, en matemáticas cualquier expresión con un divisor igual a cero no representa un número real ni entero, y se considera indefinida.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el divisor de la operación (el número por el cual se divide).
- Paso 2: Si el divisor es $0$, detén el cálculo inmediatamente.
- Paso 3: Declara la expresión como "no definida" o "indeterminada", y aclara que no tiene un resultado numérico en Z.
Ejemplos
1 Determina el resultado de la operación $(-18) \div 0$.
- Paso a: Identificamos el dividendo ($-18$) y el divisor ($0$).
- Paso b: Como el divisor es cero, la operación de dividir por cero no está permitida en matemáticas.
- Paso c: Concluimos que el resultado "no está definido".
2 Resuelve la expresión combinada $\frac{14 - 14}{10 \cdot 0}$.
- Paso a: Evaluamos el numerador: $14 - 14 = 0$.
- Paso b: Evaluamos el denominador: $10 \cdot 0 = 0$.
- Paso c: La expresión resultante es $\frac{0}{0}$. Al ser el denominador (divisor) igual a cero, la expresión está indefinida.
3 ¿Es el número cero el resultado de dividir cualquier número entero por cero?
- Dividir por cero no da como resultado cero.
- Por ejemplo, para $7 \div 0$, no hay ningún número que multiplicado por $0$ dé $7$.
- La operación simplemente carece de definición matemática.
4 ¿Se puede calcular el valor de $0 \div 5$ en los números enteros?
- Aquí el divisor es $5$ (diferente de cero) y el dividendo es $0$.
- Buscamos un número $c$ tal que $c \cdot 5 = 0$. El único número es $0$.
- Por lo tanto, $0 \div 5 = 0$ y sí está perfectamente definido.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Pensar que la división por cero da como resultado cero (ej: $8 \div 0 = 0$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que dividir por cero da como resultado el mismo dividendo (ej: $15 \div 0 = 15$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir dividir cero por un número ($0 \div a = 0$) con dividir un número por cero ($a \div 0$, no definido)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Tratar la expresión indeterminada $0 \div 0$ como si fuera igual a 1 (creyendo erróneamente que cualquier número dividido por sí mismo es 1)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Intentar simplificar expresiones fraccionarias cancelando factores que valen cero en el denominador."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La división por cero no está definida en el conjunto de los números enteros (ni en ningún conjunto numérico). Una expresión de la forma $a \div 0$ no representa ningún número entero.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En el conjunto de los números enteros, la división por cero...
No existe ningún número entero que multiplicado por 0 dé un entero distinto de cero, por lo que la división por cero carece de definición matemática.
Respuesta: No está definida.
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¿Por qué la división $8 \div 0$ no representa ningún número entero?
Por definición, si $8 \div 0 = c$, entonces $c \cdot 0 = 8$, lo cual es imposible pues todo número multiplicado por 0 es 0.
Respuesta: Porque no existe ningún número entero $c$ que multiplicado por 0 sea igual a 8.
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La expresión fraccionaria $\frac{0}{0}$ se considera en matemáticas como una forma...
Cualquier número entero cumple que $c \cdot 0 = 0$. Al no haber una solución única, la operación no está definida y se llama indeterminada.
Respuesta: Indeterminada (no definida).
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes expresiones representa una operación que NO está definida en los números enteros?
El divisor es 0, por lo que la operación no está definida.
Respuesta: $-12 \div 0$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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El resultado de la división $0 \div (-5)$ es igual a $0$.
Dividir cero por un número distinto de cero sí está definido y su resultado es 0, ya que $0 \cdot (-5) = 0$.
Respuesta: Verdadero
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La expresión $(-24) \div (10 - 10)$ está definida en $\mathbb{Z}$ y su valor es cero.
El divisor es $10 - 10 = 0$. La división por cero no está definida en ningún conjunto numérico.
Respuesta: Falso
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En la ecuación $15 \div x = y$, si $x = 0$, es imposible encontrar un valor entero para $y$.
Dado que el divisor $x$ es cero, no existe ningún valor numérico para $y$ que satisfaga la operación.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un profesor plantea la siguiente pregunta en un examen de álgebra: 'Si $n$ es un número entero, ¿para qué valores de $n$ la fracción $\frac{n + 5}{n - 3}$ NO representa un número entero definido?'. ¿Cuál es la respuesta correcta?
La fracción no está definida cuando el denominador es cero. Planteamos $n - 3 = 0 \implies n = 3$. Si $n = 3$, el divisor se anula y la expresión queda indefinida.
Respuesta: Para $n = 3$
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Sean $a$ y $b$ dos números enteros tales que $a \cdot b = 1$. Si se plantea la expresión $E = \frac{a + b}{a - b}$, ¿bajo qué condiciones la expresión $E$ NO está definida en el conjunto de los enteros?
La expresión $E$ no estará definida si el denominador es cero: $a - b = 0 \implies a = b$. Como $a \cdot b = 1$, los únicos enteros que lo cumplen son $a=1, b=1$ o $a=-1, b=-1$. En esos casos, el denominador se hace 0.
Respuesta: Cuando $a = b$ (lo cual ocurre si $a=1, b=1$ o si $a=-1, b=-1$).
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Considere la expresión matemática $V = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$. Un estudiante afirma que si evalúa en $x = -2$, el resultado de $V$ es igual a $0$. ¿Cuál de los siguientes comentarios describe el error del estudiante?
Evaluando en $x = -2$, el numerador es $(-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$ y el denominador es $-2 + 2 = 0$. La expresión queda $\frac{0}{0}$, la cual está indefinida.
Respuesta: Al evaluar en $x = -2$, el denominador se hace cero y la división por cero no está definida en los enteros, por lo que $V$ no tiene un valor real.