Identificación del inverso aditivo (opuesto)
Resumen inicial
Todo entero $a$ posee un opuesto aditivo $-a$ tal que la suma de ambos da cero: $a + (-a) = 0$.
Explicación en palabras simples
El inverso aditivo (u opuesto) de un número entero es otro entero que tiene exactamente la misma magnitud pero el signo contrario. Al sumar un número con su opuesto aditivo, ambos se cancelan completamente dando como resultado el cero.
Explicación formal
Para todo entero $a \in \mathbb{Z}$, existe un único elemento $-a \in \mathbb{Z}$ denominado Inverso Aditivo (u opuesto) que satisface:
$$a + (-a) = (-a) + a = 0$$
Desglose de la fórmula:
- $a$: Número entero original.
- $-a$: Inverso aditivo u opuesto de $a$.
- $= 0$: Resultado nulo de la cancelación mutua al sumar un número con su opuesto.
Complemento didáctico: El opuesto del opuesto devuelve el número original: $-(-a) = a$.
La alternativa correcta es '-8', pues $8 + (-8) = 0$.
Definiciones clave
- Inverso aditivo (opuesto): El entero $-a$ de igual magnitud pero signo opuesto que suma cero con $a$.
- Cancelación aditiva: Propiedad por la cual la suma de opuestos resulta en el elemento neutro $0$.
Propiedades y relaciones importantes
- Doble negación: $-(-a) = a$.
- Opuesto del cero: El opuesto de $0$ es $0$ ($-0 = 0$).
Ejemplo guiado
Halle el inverso aditivo del entero $-13$ y compruebe que la suma de ambos resulta en cero.
- Paso 1: Determinar el opuesto cambiando el signo de $-13$: $-(-13) = +13$.
- Paso 2: Sumar el número original y su opuesto: $(-13) + 13 = 0$.
- Conclusión: El inverso aditivo de $-13$ es $13$.
La alternativa correcta es '13'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el número dado $a$ con su signo antecedente.
- Paso 2: Invertir el signo (si es positivo pasa a negativo, si es negativo pasa a positivo).
- Paso 3: Verificar que la suma de $a + (-a)$ sea igual a 0.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Confundir inverso aditivo (opuesto) con inverso multiplicativo (recíproco). Cómo corregirlo: El opuesto de $5$ es $-5$ (cambia signo); el recíproco es $\frac{1}{5}$ (invierte fracción).
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Error 2: Pensar que el inverso aditivo de un número siempre es un número negativo. Cómo corregirlo: Si el número original es negativo (ej: $-7$), su opuesto es positivo ($+7$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $-(-20) = 20$.
- $-(-6) = 6$, y el signo menos exterior da $-6$.
- Sí, $a + (-a) = 0$ por definición.
- Sí, $-0 = 0$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Determinar el inverso aditivo (opuesto) de cualquier número entero y aplicar la propiedad de involución.
Asignando el opuesto formal $-a$ tal que $a + (-a) = 0$, aplicando la ley de doble negación $-(-a) = a$ y reconociendo que $-(0) = 0$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el opuesto de un número entero es verdadera?
El opuesto cambia el signo. Para un número negativo $-x$, su opuesto es $-(-x) = x$, que es positivo.
Respuesta: El opuesto de un número negativo siempre es positivo.
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¿Qué es el inverso aditivo u opuesto de un número entero $a$?
Por definición, el inverso aditivo de un número es su opuesto, que al sumarse con él da el elemento neutro $0$.
Respuesta: Es el número entero $-a$ tal que $a + (-a) = 0$.
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¿Cómo se representan gráficamente en la recta numérica un número entero y su opuesto?
Como tienen el mismo valor absoluto, la distancia al cero es igual, pero en direcciones opuestas.
Respuesta: Se ubican simétricamente respecto al cero, a la misma distancia de él.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Identifica el inverso aditivo del número entero $-84$.
El inverso aditivo cambia el signo del número. El opuesto de $-84$ es $+84$.
Respuesta: $84$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El opuesto de $+150$ es $-150$?
Sí. Para obtener el opuesto de un número positivo, le cambiamos el signo a negativo: $-150$.
Respuesta: Verdadero
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¿El inverso aditivo del número cero ($0$) es $-1$?
El opuesto de $0$ es el mismo $0$, ya que $0 + 0 = 0$.
Respuesta: Falso
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¿Es la expresión $-(-35)$ igual a $+35$?
Sí. El opuesto del opuesto de un número es el mismo número original: $-(-35) = 35$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si sumamos un número entero $n$ con su opuesto $-n$, y luego restamos $10$ al resultado, ¿qué valor obtenemos?
La suma de cualquier número con su opuesto es cero ($n + (-n) = 0$). Al restar $10$, obtenemos $0 - 10 = -10$.
Respuesta: $-10$
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Se define el conjunto $M$ de números enteros. Si $x \in M$ implica que el opuesto de $x$ también pertenece a $M$. Si el número $-5 \in M$, ¿cuál de los siguientes números debe pertenecer necesariamente a $M$?
Como $-5 \in M$, su opuesto también debe estar en $M$. El opuesto de $-5$ es $5$, por lo que $5 \in M$ necesariamente.
Respuesta: $5$
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En una recta numérica, el punto $A$ representa al número $-18$. Si el punto $B$ representa al inverso aditivo de $A$, ¿a qué distancia se encuentran los puntos $A$ y $B$ entre sí?
El punto $A$ es $-18$. Su opuesto es $B = 18$. La distancia entre $-18$ y $18$ se calcula como $|18 - (-18)| = |18 + 18| = 36$ unidades.
Respuesta: $36$ unidades