Eliminación de paréntesis precedidos por signo -
Aplicar la regla de eliminación de paréntesis precedidos por un signo negativo (-) cambiando el signo de los términos interiores de forma correcta.
Introducción
¿Qué pasa cuando tienes un signo de resta ($-$) justo antes de un paréntesis?
El signo menos es muy travieso. Actúa como un interruptor de luz: cambia todo al revés.
Te dice: "para quitar el paréntesis, debes cambiar el signo de todos los números que están adentro al signo opuesto".
- Si un número adentro es positivo, se vuelve negativo.
- Si un número adentro es negativo, se vuelve positivo.
Por ejemplo, si tienes $15 - (-5)$, el signo menos cambia el $-5$ a $+5$, quedando $15 + 5 = 20$.
¡No te olvides de cambiar todos los términos que estén dentro!
Explicación
En los números enteros ($\mathbb{Z}$), restar un número equivale a sumar su opuesto o inverso aditivo. Por ende, un signo menos ($-$) delante de un paréntesis representa el opuesto de toda la expresión que está en su interior.
Matemáticamente, para dos enteros $a$ y $b$:
1. Paréntesis con término positivo interior:
$$a - (+b) = a - b$$
2. Paréntesis con término negativo interior:
$$a - (-b) = a + b$$
Si el paréntesis agrupa varios términos, como $a - (b - c + d)$, el signo menos exterior cambia el signo de cada uno de los elementos internos al ser eliminado:
$$a - b + c - d$$
Justificación mediante distributividad:
Tener un signo menos delante de un paréntesis es matemáticamente equivalente a multiplicar toda la expresión interior por el entero $-1$:
$$a - (b - c) = a + (-1) \cdot (b - c) = a + (-1) \cdot b + (-1) \cdot (-c) = a - b + c$$
Esto demuestra por qué todos los términos invierten su signo al retirar los paréntesis.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Localiza el paréntesis en la expresión y verifica si está antecedido por un signo negativo ($-$).
- Paso 2: Retira el paréntesis y el signo $-$ exterior.
- Paso 3: Cambia el signo de cada uno de los términos que estaban dentro al opuesto ($+$ pasa a $-$, y $-$ pasa a $+$).
- Paso 4: Resuelve las adiciones y sustracciones resultantes.
Ejemplos
1 Elimina los paréntesis y resuelve la expresión: $12 - (-5 + 8)$
- Paso a: El paréntesis está antecedido por un signo menos ($-$).
- Paso b: Eliminamos el paréntesis invirtiendo los signos interiores: el $-5$ pasa a $+5$, y el $+8$ pasa a $-8$. La expresión queda: $12 + 5 - 8$.
- Paso c: Calculamos de izquierda a derecha: $12 + 5 = 17$, luego $17 - 8 = 9$.
2 Resuelve simplificando los paréntesis: $-3 - (4 - (-2))$
- Paso a: Primero simplificamos el paréntesis más interno: $-(-2) = +2$. La expresión es $-3 - (4 + 2)$.
- Paso b: Quitamos el paréntesis restante antecedido por $-$, cambiando signos internos: $-3 - 4 - 2$.
- Paso c: Sumamos los enteros negativos: $-3 - 4 = -7$, luego $-7 - 2 = -9$.
3 ¿Es equivalente escribir $8 - (-3)$ que $8 + 3$?
- El signo menos exterior cambia el signo del $-3$ a su opuesto, que es $+3$.
- Por ende, $8 - (-3) = 8 + 3 = 11$.
4 ¿Es correcto afirmar que $-(-10) = -10$?
- El signo menos exterior cambia el signo del término interior.
- El opuesto de $-10$ es $+10$, por lo tanto $-(-10) = +10 = 10$.
- Mantener $-10$ implicaría ignorar la regla de eliminación de paréntesis con signo negativo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Cambiar de signo solo al primer número dentro del paréntesis y dejar los demás iguales (ej: $10 - (3 - 5) = 10 - 3 - 5$ en lugar de $10 - 3 + 5$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No cambiar el signo del primer término si es positivo e implícito (ej: $- ( 4 - 2 )$ transformarlo en $-4 - 2$ en lugar de $-4 + 2$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la regla de la multiplicación de signos con la de la suma."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Mantener el signo menos de afuera después de haber cambiado los de adentro."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la regla del signo negativo solo cuando el paréntesis contiene dos o más términos, ignorando que también aplica a un solo término como $-(-5)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Cuando un paréntesis está precedido por un signo negativo ($-$), se puede eliminar el paréntesis cambiando el signo de cada uno de los números enteros que se encuentran en su interior a su opuesto (inverso aditivo): $a - (+b) = a - b$ y $a - (-b) = a + b$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La expresión $-(-a + b - c)$ es equivalente a...
El signo negativo exterior cambia los signos de los términos internos: $-a \rightarrow a$, $b \rightarrow -b$, y $-c \rightarrow c$.
Respuesta: $a - b + c$
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¿Cuál de las siguientes justificaciones matemáticas explica el cambio de signos al eliminar un paréntesis precededido por un signo menos?
$-(a - b) = -1 \cdot (a - b) = -a + b$. Al multiplicar por $-1$, cada término cambia a su inverso aditivo.
Respuesta: Equivale a aplicar la propiedad distributiva multiplicando cada término interno por $-1$.
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Cuando un paréntesis está precededido por un signo negativo (-), para poder eliminarlo se debe...
El signo menos exterior representa el opuesto (multiplicación por $-1$), lo que invierte el signo de cada término interno.
Respuesta: Cambiar el signo de todos los términos dentro del paréntesis al opuesto.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes expresiones muestra la eliminación correcta del paréntesis en $10 - (5 - 3)$?
El $+5$ interno pasa a $-5$ y el $-3$ interno pasa a $+3$.
Respuesta: $10 - 5 + 3$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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La expresión $-(-12)$ es igual a $-12$.
El signo menos cambia el signo de $-12$ a su opuesto, que es $+12$ o simplemente $12$.
Respuesta: Falso
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Al eliminar el paréntesis en la expresión $5 - (-3 + 2)$ obtenemos $5 + 3 - 2$.
Se cambian los signos de ambos términos internos: $-3 \rightarrow +3$ y $+2 \rightarrow -2$.
Respuesta: Verdadero
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Al eliminar el paréntesis en $a - (b + c)$, si solo cambiamos el signo de $b$, obteniendo $a - b + c$, el procedimiento es correcto.
Se debe cambiar el signo de TODOS los términos del paréntesis. El resultado correcto es $a - b - c$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En un juego mecánico de puntuación, un participante tiene $1.000$ puntos. Si comete una falta, su puntaje cambia según la expresión $1000 - (300 - x)$. Si en la última ronda el participante logra un puntaje de $x = -100$, ¿cuál es su puntaje final tras aplicar la regla correctamente?
Evaluamos $x = -100$: $1000 - (300 - (-100)) = 1000 - (300 + 100)$. Eliminamos el paréntesis cambiando signos: $1000 - 300 - 100 = 600$ puntos.
Respuesta: $600$ puntos
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Un saldo contable está dado por la fórmula $S = 500 - (200 - x)$. Si el valor de $x$ es $-50$, ¿cuál es el saldo $S$ calculado de forma correcta eliminando primero el paréntesis?
Reemplazando $x$: $S = 500 - (200 - (-50)) = 500 - (200 + 50)$. Eliminamos el paréntesis cambiando signos: $S = 500 - 200 - 50 = 300 - 50 = 250$.
Respuesta: $250$
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Se tienen las expresiones $P = x - (y - z)$ y $Q = x - y - z$. Si $x, y, z$ son números enteros positivos con $z > 0$, ¿cuál de las siguientes afirmaciones sobre $P$ y $Q$ es correcta?
Eliminando el paréntesis en $P$: $P = x - y + z$. Comparando con $Q = x - y - z$: como $z > 0$, sumarle $z$ a $(x-y)$ da un valor mayor que restarle $z$ a $(x-y)$. Por lo tanto, $P > Q$.
Respuesta: P es siempre mayor que Q.