División de enteros: Regla de signos iguales
Resumen inicial
La división de dos enteros del mismo signo resulta siempre en un cociente positivo: $(+) : (+) = +$ y $(-) : (-) = +$.
Explicación en palabras simples
Al dividir dos números enteros que tienen exactamente el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos), el cociente resultante es siempre un número positivo. Esto ocurre porque la división es la operación inversa de la multiplicación y sigue su misma regla de signos.
Explicación formal
Para dos enteros $a, b \in \mathbb{Z}$ con $b \neq 0$ y $\operatorname{sgn}(a) = \operatorname{sgn}(b)$ donde $b \mid a$, la División de Signos Iguales se define como:
$$a : b = +\left( |a| : |b| \right) > 0$$
Desglose de la fórmula:
- $|a| : |b|$: Cociente exacto entre las magnitudes absolutas del dividendo y divisor.
- $+(\dots)$: Signo positivo del cociente asegurado por la concordancia de polaridad.
Complemento didáctico: $(-24) : (-6) = +4$, pues $(+4) \cdot (-6) = -24$ satisface la comprobación multiplicativa.
La alternativa correcta es '8', ya que la división de dos enteros negativos da resultado positivo.
Definiciones clave
- División exacta de signos iguales: Operación cociente entre enteros de igual polaridad que entrega un resultado positivo.
Propiedades y relaciones importantes
- Comprobación multiplicativa: $a : b = c \iff c \cdot b = a$.
Ejemplo guiado
Calcule la división de enteros negativos $(-35) : (-7)$.
- Paso 1: Identificar los signos de dividendo y divisor: ambos son negativos.
- Paso 2: Aplicar la regla de signos iguales para división: $(-) : (-) = +$.
- Paso 3: Dividir los valores absolutos: $35 : 7 = 5$.
- Conclusión: $(-35) : (-7) = 5$.
La alternativa correcta es '5'.
Procedimiento
- Paso 1: Dividir los valores absolutos del dividendo y divisor.
- Paso 2: Verificar que ambos tengan el mismo signo.
- Paso 3: Asignar un signo positivo ($+$) al cociente resultante.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Creer que la división de dos negativos da como resultado un número negativo. Cómo corregirlo: Al ser de signos iguales, la división da positivo: $(-) : (-) = +$.
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Error 2: Confundir la división con la resta de negativos. Cómo corregirlo: La división busca cuántas veces cabe el divisor en el dividendo.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $(-) : (-) = +$. $63 : 9 = 7$.
- $(-100) : (-5) = 20$.
- Sí, por la regla de signos iguales en división.
- No, $(-16) : (-4) = +4$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Calcular el cociente exacto de números enteros con el mismo signo.
Dividiendo sus valores absolutos $|a| \div |b|$ y asignando signo positivo: $(+a) \div (+b) = +(a \div b)$ y $(-a) \div (-b) = +(a \div b)$, verificando que $c \cdot b = a$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si $a < 0$ y $b < 0$, ¿qué se puede afirmar sobre el signo de la división $a \div b$ (asumiendo que es exacta)?
Al ser ambos menores que cero (negativos), su cociente es positivo (mayor que cero).
Respuesta: El resultado es mayor que cero ($a \div b > 0$).
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¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la división de enteros con igual signo es correcta?
Al tener el mismo signo (ambos negativos), el resultado es estrictamente positivo.
Respuesta: Dividir dos números negativos da como resultado un número positivo.
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Cuando se dividen dos números enteros que tienen el mismo signo, el cociente obtenido es...
La ley de signos para la división establece que la división de dos cantidades del mismo signo da un resultado positivo: $(+) \div (+) = (+)$ y $(-) \div (-) = (+)$.
Respuesta: Siempre un número positivo.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes operaciones dará como resultado un número positivo?
Es la única división de enteros donde ambos números tienen el mismo signo (ambos negativos).
Respuesta: $-48 \div (-8)$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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El resultado de $(-24) \div (-4)$ es igual a $-6$.
El resultado es $+6$ (o simplemente $6$) porque ambos números tienen signos iguales (negativos).
Respuesta: Falso
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La fracción $\frac{-120}{-10}$ representa una división cuyo resultado es igual a $12$.
$-120 \div -10 = 12$, ya que $12 \cdot (-10) = -120$.
Respuesta: Verdadero
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El cociente de dividir un entero positivo por otro entero positivo es siempre un entero positivo.
Al ser ambos de signo positivo, el resultado es positivo según la ley de signos.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un buzo desciende en el mar y su altitud cambia en $-40$ metros. Si realiza este descenso en 4 etapas iguales, descendiendo $-10$ metros en cada una, ¿cuál es el cálculo matemático que determina el número de etapas realizadas?
El número de etapas se calcula dividiendo la altitud total de descenso por el descenso de cada etapa: $-40 \div -10$. Por signos iguales, resulta en 4 etapas positivas.
Respuesta: $-40 \div -10 = 4$
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Si se tiene la expresión $x = \frac{-a \cdot b}{-c}$ donde $a, b, c$ son números enteros positivos, ¿cuál es el signo del resultado de $x$?
El numerador $-a \cdot b$ es negativo (producto de negativo por positivo). El denominador $-c$ también es negativo. Al dividir dos enteros del mismo signo (ambos negativos), el cociente $x$ es positivo.
Respuesta: Positivo, porque tanto el numerador como el denominador resultan ser negativos.
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La temperatura de una cámara de congelación bajó uniformemente durante la noche en un total de $-18^\circ\text{C}$. Si cada hora la variación fue exactamente de $-3^\circ\text{C}$ (una disminución de 3 grados), ¿cuántas horas duró este descenso de temperatura?
Dividimos el cambio total por la variación horaria: $-18 \div -3 = 6$. Como la cantidad de horas debe ser positiva, la ley de signos de enteros con igual signo valida el resultado físico.
Respuesta: 6 horas