División de enteros: Regla de signos iguales
Resolver divisiones de números enteros con el mismo signo aplicando la ley de signos correspondiente.
Introducción
¿Te acuerdas de la regla de los signos para la multiplicación? ¡Buenas noticias! Para la división es exactamente igual.
Cuando divides dos números enteros que tienen el mismo signo, el resultado siempre, sin excepción, será positivo.
Piensa en esto como una regla de afinidad: si los dos números se ponen de acuerdo en su signo (ambos positivos, o ambos negativos), el resultado final es un número positivo y feliz.
Por ejemplo:
$12$ dividido en $3$ es igual a $4$ (ambos positivos $\rightarrow$ resultado positivo).
$-12$ dividido en $-3$ es igual a $4$ (ambos negativos $\rightarrow$ ¡resultado también positivo!).
Explicación
La operación de división en el conjunto de los enteros ($\mathbb{Z}$) se define como la operación inversa de la multiplicación. Por lo tanto, hereda las mismas reglas de signos.
Cuando realizamos la división $a \div b = c$ (donde $b \neq 0$ and el cociente $c$ es un entero), la ley de signos para elementos con el mismo signo indica que:
1. Si ambos enteros son positivos:
$$\frac{+a}{+b} > 0 \implies (+) \div (+) = (+)$$
2. Si ambos enteros son negativos:
$$\frac{-a}{-b} > 0 \implies (-) \div (-) = (+)$$
Justificación matemática:
Si $-15 \div -3 = c$, entonces por definición de división debe cumplirse que $c \cdot (-3) = -15$. Para que el producto de $c$ con un número negativo sea otro número negativo, $c$ debe ser obligatoriamente un número positivo ($5 \cdot (-3) = -15$).
Es importante notar que en $\mathbb{Z}$ la división no siempre es exacta (por ejemplo, $5 \div 2$ no da un número entero). Esta pauta y los ejercicios asociados se enfocan en divisiones donde el dividendo es múltiplo del divisor, resultando en un cociente entero exacto.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el dividendo y el divisor de la operación y verifica que tengan el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos).
- Paso 2: Calcula la división de los valores absolutos de los números (los números sin su signo).
- Paso 3: Asigna un signo positivo ($+$) al resultado final, de acuerdo con la ley de signos.
Ejemplos
1 Calcula el resultado de la división $(-35) \div (-5)$.
- Paso a: Identificamos los signos. Tanto el dividendo ($-35$) como el divisor ($-5$) son negativos, por lo que tienen el mismo signo.
- Paso b: Dividimos sus valores absolutos: $35 \div 5 = 7$.
- Paso c: Como los signos son iguales, el resultado es positivo: $+7$ o simplemente $7$.
2 Resuelve la expresión $\frac{-100}{-25}$.
- Paso a: La fracción representa una división entre dos números negativos: $-100$ y $-25$.
- Paso b: Dividimos los valores absolutos: $100 \div 25 = 4$.
- Paso c: Aplicando la regla de signos iguales, el resultado es positivo: $4$.
3 ¿Es el resultado de $(-8) \div (-2)$ un número entero positivo?
- El dividendo ($-8$) y el divisor ($-2$) tienen el mismo signo (negativo).
- Calculamos $8 \div 2 = 4$.
- Por regla de signos iguales, el resultado es $+4$.
4 ¿Da el mismo resultado dividir $24 \div 6$ que dividir $(-24) \div (-6)$?
- Para $24 \div 6$, ambos son positivos, por lo que el resultado es $4$.
- Para $(-24) \div (-6)$, ambos son negativos, por lo que el resultado también es $4$.
- Por ende, ambas divisiones dan exactamente el mismo resultado.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Creer que la división de dos números negativos da un resultado negativo (ej: $(-12) \div (-3) = -4$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la regla de la suma (conservar el signo del mayor) en lugar de la regla de la división (ej: pensar que $(-20) \div (-2) = -10$ porque el $-20$ tiene mayor valor absoluto)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que el divisor no puede ser cero."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el signo del cociente al resolver ejercicios combinados donde se alternan multiplicaciones y divisiones."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asociar incorrectamente el signo si hay más de una operación de división encadenada sin paréntesis."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La división de dos números enteros con el mismo signo resulta siempre en un número positivo. La ley de signos establece que $(+) \div (+) = (+)$ y $(-) \div (-) = (+)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si $a < 0$ y $b < 0$, ¿qué se puede afirmar sobre el signo de la división $a \div b$ (asumiendo que es exacta)?
Al ser ambos menores que cero (negativos), su cociente es positivo (mayor que cero).
Respuesta: El resultado es mayor que cero ($a \div b > 0$).
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¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la división de enteros con igual signo es correcta?
Al tener el mismo signo (ambos negativos), el resultado es estrictamente positivo.
Respuesta: Dividir dos números negativos da como resultado un número positivo.
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Cuando se dividen dos números enteros que tienen el mismo signo, el cociente obtenido es...
La ley de signos para la división establece que la división de dos cantidades del mismo signo da un resultado positivo: $(+) \div (+) = (+)$ y $(-) \div (-) = (+)$.
Respuesta: Siempre un número positivo.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes operaciones dará como resultado un número positivo?
Es la única división de enteros donde ambos números tienen el mismo signo (ambos negativos).
Respuesta: $-48 \div (-8)$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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El resultado de $(-24) \div (-4)$ es igual a $-6$.
El resultado es $+6$ (o simplemente $6$) porque ambos números tienen signos iguales (negativos).
Respuesta: Falso
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La fracción $\frac{-120}{-10}$ representa una división cuyo resultado es igual a $12$.
$-120 \div -10 = 12$, ya que $12 \cdot (-10) = -120$.
Respuesta: Verdadero
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El cociente de dividir un entero positivo por otro entero positivo es siempre un entero positivo.
Al ser ambos de signo positivo, el resultado es positivo según la ley de signos.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un buzo desciende en el mar y su altitud cambia en $-40$ metros. Si realiza este descenso en 4 etapas iguales, descendiendo $-10$ metros en cada una, ¿cuál es el cálculo matemático que determina el número de etapas realizadas?
El número de etapas se calcula dividiendo la altitud total de descenso por el descenso de cada etapa: $-40 \div -10$. Por signos iguales, resulta en 4 etapas positivas.
Respuesta: $-40 \div -10 = 4$
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Si se tiene la expresión $x = \frac{-a \cdot b}{-c}$ donde $a, b, c$ son números enteros positivos, ¿cuál es el signo del resultado de $x$?
El numerador $-a \cdot b$ es negativo (producto de negativo por positivo). El denominador $-c$ también es negativo. Al dividir dos enteros del mismo signo (ambos negativos), el cociente $x$ es positivo.
Respuesta: Positivo, porque tanto el numerador como el denominador resultan ser negativos.
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La temperatura de una cámara de congelación bajó uniformemente durante la noche en un total de $-18^\circ\text{C}$. Si cada hora la variación fue exactamente de $-3^\circ\text{C}$ (una disminución de 3 grados), ¿cuántas horas duró este descenso de temperatura?
Dividimos el cambio total por la variación horaria: $-18 \div -3 = 6$. Como la cantidad de horas debe ser positiva, la ley de signos de enteros con igual signo valida el resultado físico.
Respuesta: 6 horas