División de enteros: Regla de signos distintos
Resolver divisiones de números enteros con distinto signo aplicando la ley de signos correspondiente.
Introducción
¿Qué pasa cuando dividimos dos números enteros que tienen signos opuestos o distintos (uno positivo y uno negativo)?
El resultado siempre, sin importar cuál de los dos sea más grande, será negativo.
Imagínalo como el resultado de una pequeña diferencia de opiniones: si no se ponen de acuerdo en el signo, el resultado se vuelve negativo.
Por ejemplo:
$15$ dividido en $-3$ es igual a $-5$.
$-15$ dividido en $3$ es igual a $-5$.
¡Es así de sencillo! El signo del cociente siempre es un signo menos ($-$).
Explicación
La división de enteros con signos contrarios se rige por la ley de signos heredada de la multiplicación (ya que la división es la operación inversa de esta).
Cuando realizamos la división $a \div b = c$ (donde $b \neq 0$ y el cociente $c$ es un entero), la regla de signos para elementos con signo distinto establece:
1. Si el dividendo es positivo y el divisor es negativo:
$$\frac{+a}{-b} < 0 \implies (+) \div (-) = (-)$$
2. Si el dividendo es negativo y el divisor es positivo:
$$\frac{-a}{+b} < 0 \implies (-) \div (+) = (-)$$
Justificación matemática:
Si $-24 \div 6 = c$, entonces por definición de división debe cumplirse que $c \cdot 6 = -24$. Para obtener un producto negativo ($-24$) multiplicando por un número positivo ($6$), el factor $c$ debe ser obligatoriamente negativo ($-4 \cdot 6 = -24$). Por lo tanto, el cociente es $-4$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el dividendo y el divisor de la operación y verifica que tengan distinto signo (uno positivo y otro negativo).
- Paso 2: Realiza la división de sus valores absolutos (sin considerar los signos).
- Paso 3: Asigna un signo negativo ($-$) al resultado final, de acuerdo con la ley de signos para signos distintos.
Ejemplos
1 Calcula el resultado de la división $(-42) \div 7$.
- Paso a: Identificamos los signos. El dividendo es negativo ($-42$) y el divisor es positivo ($7$). Tienen signos distintos.
- Paso b: Dividimos sus valores absolutos: $42 \div 7 = 6$.
- Paso c: Como los signos son distintos, el resultado es negativo: $-6$.
2 Resuelve la expresión $\frac{80}{-16}$.
- Paso a: Representa una división entre el entero positivo $80$ y el entero negativo $-16$.
- Paso b: Dividimos los valores absolutos: $80 \div 16 = 5$.
- Paso c: Aplicando la regla de signos distintos, el resultado es $-5$.
3 ¿Es el resultado de $(-45) \div 9$ un número entero positivo?
- El dividendo es negativo ($-45$) y el divisor es positivo ($9$).
- Al tener signos distintos, el cociente debe ser negativo.
- El resultado es $-5$, el cual es un número entero negativo.
4 ¿Da el mismo resultado dividir $36 \div (-4)$ que dividir $(-36) \div 4$?
- Para $36 \div (-4)$, los signos son distintos, lo que resulta en $-9$.
- Para $(-36) \div 4$, los signos también son distintos, resultando en $-9$.
- Ambas expresiones dan el mismo cociente de $-9$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Aplicar de forma errónea la regla de la adición (creer que el resultado lleva el signo del número con mayor valor absoluto, por ejemplo, decir que $10 \div (-2) = +5$ porque $10$ es mayor)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar el signo negativo en el resultado final, escribiéndolo como un entero positivo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir las reglas de signos y creer que signos distintos en la división dan un resultado positivo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Intentar dividir por cero si el divisor con signo distinto es nulo (el cero no tiene signo y la división no está definida)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Resolver operaciones combinadas de izquierda a derecha sin agrupar adecuadamente los signos negativos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La división de dos números enteros con distinto signo resulta siempre en un número negativo. La ley de signos establece que $(+) \div (-) = (-)$ y $(-) \div (+) = (-)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Cuando se divide un número entero positivo por uno negativo (o viceversa), el cociente resultante es...
La división de dos enteros con distinto signo da siempre un resultado negativo: $(+) \div (-) = (-)$ y $(-) \div (+) = (-)$.
Respuesta: Siempre un número negativo.
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Si $a > 0$ y $b < 0$, ¿qué se puede afirmar sobre la división exacta $a \div b$?
Al tener signos contrarios (uno positivo y otro negativo), su cociente es negativo (menor que cero).
Respuesta: $a \div b < 0$
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¿Cuál de las siguientes expresiones matemáticas representa la ley de signos para la división con signos distintos?
La división de positivo por negativo da negativo.
Respuesta: $(+) \div (-) = (-)$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes divisiones da como resultado un número entero negativo?
$-32 \div 8$ tiene dividendo negativo y divisor positivo (signos distintos), por lo que el cociente es $-4$.
Respuesta: $-32 \div 8$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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El cociente de la división $72 \div (-9)$ es $-8$.
Como los signos son distintos, el resultado es negativo. $72 \div 9 = 8$, luego queda $-8$.
Respuesta: Verdadero
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El resultado de la fracción $\frac{-45}{5}$ es $9$.
El resultado es $-9$ debido a que el numerador y el denominador tienen signos opuestos.
Respuesta: Falso
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En la división de enteros, si el cociente es negativo, significa obligatoriamente que el dividendo y el divisor tienen signos contrarios.
Por la ley de signos, la única forma de obtener un cociente negativo es que los operandos tengan distinto signo.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un submarino realiza una inmersión científica descendiendo de forma constante hasta una altitud de $-150$ metros respecto al nivel del mar. Si el descenso duró exactamente 5 horas, ¿cuál fue la variación promedio de altitud por hora?
La variación promedio se calcula dividiendo la altitud final alcanzada por el tiempo transcurrido: $-150 \div 5$. Al ser signos opuestos, resulta en $-30$ metros por hora.
Respuesta: $-30$ metros por hora
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Si $x \cdot y < 0$ y sabemos que $y > 0$, ¿qué se puede determinar sobre el signo del cociente de la división exacta $x \div y$?
Como $x \cdot y < 0$ e $y > 0$, entonces $x$ debe ser negativo ($x < 0$). Luego, en la división $x \div y$, dividimos un número negativo por uno positivo. Al ser signos distintos, el cociente es negativo.
Respuesta: El cociente es negativo ($x \div y < 0$).
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Una deuda de $\$240.000$ (representada como $-240.000$ en la contabilidad) se divide en partes iguales entre 8 socios de una cooperativa. ¿Qué saldo debe registrarse en la cuenta individual de cada socio por concepto de esta deuda?
Dividimos la deuda total entre el número de socios: $-240.000 \div 8 = -30.000$. Cada socio asume un saldo en contra de $-\$30.000$.
Respuesta: $-\$30.000$