División de enteros: Regla de signos distintos

Resumen inicial

La división de dos enteros de distinto signo resulta siempre en un cociente negativo: $(+) : (-) = -$ y $(-) : (+) = -$.

Explicación en palabras simples

Cuando dividimos un número positivo entre uno negativo (o viceversa), el cociente obtenido es siempre un número negativo. Esto se fundamenta en que al comprobar mediante multiplicación, solo un número negativo por uno positivo puede recuperar el dividendo original.

División de enteros: Regla de signos distintos

Explicación formal

Para dos enteros $a, b \in \mathbb{Z}$ con $b \neq 0$ y $\operatorname{sgn}(a) \neq \operatorname{sgn}(b)$ donde $b \mid a$, la División de Signos Distintos se define como:

$$a : b = -\left( |a| : |b| \right) < 0$$

Desglose de la fórmula:
- $|a| : |b|$: Cociente entre los módulos de dividendo y divisor.
- $-(\dots)$: Signo negativo resultante en el cociente debido a la diferencia de polaridad.

Complemento didáctico: $(-30) : 5 = -6$, ya que $(-6) \cdot (+5) = -30$ satisface la prueba de la división.

Definiciones clave

División exacta de signos distintos: Operación cociente entre números de polaridad opuesta que entrega un resultado negativo.

Propiedades y relaciones importantes

Ubicación del signo menos en fracciones: $\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$.

Ejemplo guiado

Calcule el cociente entre el entero negativo $-40$ y el entero positivo $8$.

Ejemplo División de enteros: Regla de signos distintos

Paso 1: Identificar los signos: $-40$ es negativo y $8$ es positivo.
Paso 2: Aplicar la regla de signos distintos: $(-) : (+) = -$.
Paso 3: Dividir las magnitudes absolutas: $40 : 8 = 5$.
Conclusión: $(-40) : 8 = -5$.

Procedimiento

Paso 1: Dividir los valores absolutos del dividendo y divisor.
Paso 2: Comprobar que dividendo y divisor tengan signos opuestos.
Paso 3: Asignar un signo negativo ($-$) al cociente final.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error 1: Pensar que el signo del cociente lo decide el número de mayor valor absoluto. Cómo corregirlo: En la división de distinto signo, el resultado es SIEMPRE negativo.
Error 2: Cambiar el signo al dividir entre 1 positivo. Cómo corregirlo: Dividir entre $+1$ conserva el número y su signo intactos ($a : 1 = a$).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La división de dos enteros de distinto signo resulta en un cociente positivo si el dividendo es mayor."

"Las expresiones $\frac{-a}{b}$ y $\frac{a}{-b}$ equivalen al mismo cociente negativo $-\frac{a}{b}$."

"Las fracciones con signo menos en el denominador no se pueden evaluar en $\mathbb{Z}$."

"Dividir un entero negativo entre 1 invierte su signo a positivo."

"La división de dos números enteros de distinto signo resulta siempre en un cociente negativo."

"Dividir un entero positivo entre uno negativo da como resultado el entero cero."

"El signo del cociente en divisiones de distinto signo depende de la resta de sus magnitudes."

Al terminar debes poder

Resumen División de enteros: Regla de signos distintos

Calcular el cociente exacto de números enteros con distinto signo.

Dividiendo sus valores absolutos $|a| \div |b|$ y asignando signo negativo: $(+a) \div (-b) = -(a \div b)$ y $(-a) \div (+b) = -(a \div b)$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Cuando se divide un número entero positivo por uno negativo (o viceversa), el cociente resultante es...
La división de dos enteros con distinto signo da siempre un resultado negativo: $(+) \div (-) = (-)$ y $(-) \div (+) = (-)$.

Respuesta: Siempre un número negativo.
Si $a > 0$ y $b < 0$, ¿qué se puede afirmar sobre la división exacta $a \div b$?
Al tener signos contrarios (uno positivo y otro negativo), su cociente es negativo (menor que cero).

Respuesta: $a \div b < 0$
¿Cuál de las siguientes expresiones matemáticas representa la ley de signos para la división con signos distintos?
La división de positivo por negativo da negativo.

Respuesta: $(+) \div (-) = (-)$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

¿Cuál de las siguientes divisiones da como resultado un número entero negativo?
$-32 \div 8$ tiene dividendo negativo y divisor positivo (signos distintos), por lo que el cociente es $-4$.

Respuesta: $-32 \div 8$

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

El cociente de la división $72 \div (-9)$ es $-8$.
El resultado de la fracción $\frac{-45}{5}$ es $9$.
En la división de enteros, si el cociente es negativo, significa obligatoriamente que el dividendo y el divisor tienen signos contrarios.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Un submarino realiza una inmersión científica descendiendo de forma constante hasta una altitud de $-150$ metros respecto al nivel del mar. Si el descenso duró exactamente 5 horas, ¿cuál fue la variación promedio de altitud por hora?
La variación promedio se calcula dividiendo la altitud final alcanzada por el tiempo transcurrido: $-150 \div 5$. Al ser signos opuestos, resulta en $-30$ metros por hora.

Respuesta: $-30$ metros por hora
Si $x \cdot y < 0$ y sabemos que $y > 0$, ¿qué se puede determinar sobre el signo del cociente de la división exacta $x \div y$?
Como $x \cdot y < 0$ e $y > 0$, entonces $x$ debe ser negativo ($x < 0$). Luego, en la división $x \div y$, dividimos un número negativo por uno positivo. Al ser signos distintos, el cociente es negativo.

Respuesta: El cociente es negativo ($x \div y < 0$).
Una deuda de $\$240.000$ (representada como $-240.000$ en la contabilidad) se divide en partes iguales entre 8 socios de una cooperativa. ¿Qué saldo debe registrarse en la cuenta individual de cada socio por concepto de esta deuda?
Dividimos la deuda total entre el número de socios: $-240.000 \div 8 = -30.000$. Cada socio asume un saldo en contra de $-\$30.000$.

Respuesta: $-\$30.000$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación