Adición de enteros con distinto signo
Resumen inicial
Para sumar enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto.
Explicación en palabras simples
Cuando sumamos dos números con signos opuestos (uno positivo y uno negativo), sus efectos se contrarrestan parcialmente. Es como tener un abono a favor y una deuda: la cantidad final disminuye y el resultado conserva la naturaleza del número que tenía la magnitud más grande.
Explicación formal
Para dos enteros $a, b \in \mathbb{Z}$ tales que $\operatorname{sgn}(a) \neq \operatorname{sgn}(b)$, la Regla de Adición de Distinto Signo se define como:
$$a + b = \operatorname{sgn}(m) \cdot \left| |a| - |b| \right| \quad \text{donde } m = \arg\max_{x \in \{a,b\}} |x|$$
Desglose de la fórmula:
- $\left| |a| - |b| \right|$: Resta aritmética entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto.
- $m$: El sumando cuyo valor absoluto $|m|$ es estrictamente mayor.
- $\operatorname{sgn}(m)$: Garantiza que la suma conserve el signo del sumando dominante en magnitud.
Complemento didáctico: En $(-15) + 8$, el mayor valor absoluto es $|-15|=15$. Restamos $15-8=7$ y colocamos el signo del $-15$, obteniendo $-7$.
La alternativa correcta es '8', calculando $20 - 12 = 8$, y conservando el signo positivo de 20.
Definiciones clave
- Adición de distinto signo: Sustracción de magnitudes absolutas bajo la dominancia del signo del mayor módulo.
- Dominancia de módulo: El término con mayor distancia al cero impone su polaridad al resultado.
Propiedades y relaciones importantes
- Cancelación de opuestos: Si $a + b = 0$, los números son opuestos aditivos ($b = -a$).
Ejemplo guiado
Calcule la suma de enteros de distinto signo $(-14) + 9$ indicando el paso a paso.
- Paso 1: Comparar los valores absolutos de los sumandos: $|-14| = 14$ y $|9| = 9$.
- Paso 2: Restar el valor absoluto menor al mayor: $14 - 9 = 5$.
- Paso 3: Identificar que $-14$ tiene el mayor valor absoluto ($14 > 9$), por lo que el resultado es negativo: $-5$.
- Conclusión: $(-14) + 9 = -5$.
La alternativa correcta es 'Porque el número -14 tiene mayor valor absoluto que 9'.
Procedimiento
- Paso 1: Obtener el valor absoluto de cada uno de los dos sumandos.
- Paso 2: Restar el valor absoluto menor del valor absoluto mayor.
- Paso 3: Asignar al resultado el signo del sumando que poseía la mayor distancia al cero.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Sumar las magnitudes al tener distinto signo (ej: $(-8) + 5 = -13$). Cómo corregirlo: Al tener distinto signo, las magnitudes se restan ($8 - 5 = 3 \implies -3$).
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Error 2: Poner siempre el signo del primer número escrito. Cómo corregirlo: El signo lo impone el número de mayor valor absoluto, independientemente de su posición.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $|-25| = 25 > |18| = 18$. Resta: $25 - 18 = 7$. Signo de $-25$: $-7$.
- $(-6) + 10 = +4^\circ\text{C}$.
- Sí, la suma de opuestos aditivos es siempre cero.
- No, $|15| > |-3|$, por ende el resultado es positivo ($+12$).
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Calcular la suma de números enteros con signos distintos.
Restando el valor absoluto menor del mayor $\max(|a|,|b|) - \min(|a|,|b|)$ y asignando el signo del número con mayor módulo.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si sumamos un número entero positivo y uno negativo que tienen el mismo valor absoluto, ¿cuál es el resultado?
Dos números con el mismo valor absoluto pero distinto signo son opuestos aditivos. Su suma siempre es $a + (-a) = 0$.
Respuesta: Cero
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Al sumar $(-15) + (+20)$, ¿por qué el resultado es positivo?
$|+20| = 20$ y $|-15| = 15$. Como $20 > 15$, el signo del resultado será el de $+20$, es decir, positivo.
Respuesta: Porque el sumando con mayor valor absoluto ($+20$) es positivo.
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¿Cuál es la regla para sumar dos números enteros con diferente signo?
La suma de enteros de distinto signo implica restar el valor absoluto menor al mayor y mantener el signo del de mayor magnitud.
Respuesta: Se restan sus valores absolutos (el mayor menos el menor) y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Identifica cuál de las siguientes operaciones representa la adición de dos enteros con diferente signo.
$(-10)$ es negativo y $(+4)$ es positivo, sumándose entre sí.
Respuesta: $(-10) + (+4)$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El resultado de $(-25) + (+10)$ es igual a $-15$?
Los signos son distintos. Restamos valores absolutos: $25 - 10 = 15$. Colocamos el signo de $-25$ que tiene mayor valor absoluto: $-15$.
Respuesta: Verdadero
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¿La suma $(+8) + (-12)$ da un resultado positivo?
$|-12| = 12$ es mayor que $|8| = 8$. Por lo tanto, el signo del resultado es negativo: $-4$.
Respuesta: Falso
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¿El resultado de $(-40) + (+40)$ es igual a $0$?
Al tener signos contrarios e igual valor absoluto, la suma da $0$, ya que $40 - 40 = 0$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En una cuenta bancaria, un usuario tiene una deuda de $\$15.000$ (saldo negativo). Si realiza un depósito de $\$25.000$, ¿cuál es su nuevo saldo?
Representamos el saldo inicial como $-15.000$ y el depósito como $+25.000$. La adición es $(-15.000) + 25.000 = +10.000$, es decir, $\$10.000$ a favor.
Respuesta: $\$10.000$ a favor
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Un elevador se encuentra en el piso $-3$ (subsuelo). Si sube $7$ pisos, ¿en qué piso se ubica ahora?
Ubicación inicial $-3$, cambio de posición $+7$. Calculamos la suma: $(-3) + (+7) = +4$. El elevador se ubica en el piso $4$.
Respuesta: $4$
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Si $a$ es un número entero tal que $a < 0$, y se sabe que $a + 12 > 0$, ¿cuál de las siguientes opciones describe correctamente los posibles valores para el valor absoluto de $a$?
Como $a$ es negativo, su suma con $12$ (positivo) da un resultado positivo si y solo si el sumando positivo tiene mayor valor absoluto. Es decir, $|12| > |a|$, lo que significa $|a| < 12$.
Respuesta: $|a| < 12$