Notación y signo del valor absoluto |x|
Utilizar la notación de barras verticales para representar el valor absoluto de un número.
Introducción
Para escribir el valor absoluto usamos dos barritas verticales alrededor del número: |número|.
Es como decirle al número "olvídate del signo, solo dame la distancia al cero".
Por ejemplo: |5| = 5 y |-5| = 5, porque ambos están a 5 pasos del cero.
El resultado de un valor absoluto nunca puede ser negativo — si el número ya era
positivo queda igual, y si era negativo se convierte en su versión positiva.
Explicación
La representación formal del valor absoluto de un número entero $a$ se realiza utilizando dos
barras verticales que encierran al número, denotándose como $|a|$. Esta notación simplifica la
expresión de la distancia al origen sin necesidad de descripciones textuales. Por definición
algebraica, el valor absoluto se comporta de la siguiente manera: $|x| = x$ si $x \geq 0$, y
$|x| = -x$ si $x < 0$ (donde $-x$ representa el opuesto positivo del número negativo).
El resultado de aplicar la operación de valor absoluto es siempre un número positivo o cero.
Conviene distinguir el signo del número original del resultado del valor absoluto: las barras
$|\,|$ actúan como un operador que extrae únicamente la magnitud del número, sin conservar su
sentido negativo. Por ejemplo, $|-10| = 10$ y $|10| = 10$.
En términos de paridad, el valor absoluto de cero es siempre cero ($|0| = 0$), siendo este el
único caso donde el resultado no es estrictamente positivo. Esta notación es ampliamente utilizada
en álgebra para definir intervalos, inecuaciones y módulos de vectores.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Escribir el número entero entre dos barras verticales ($|\,|$).
- Paso 2: Evaluar el signo del número contenido.
- Paso 3: Si el número es negativo, escribir su valor positivo correspondiente (su opuesto).
- Paso 4: Si el número es positivo o cero, el resultado es el mismo número.
Ejemplos
1 Calcule el valor de la expresión $|-15| + |4|$.
- Se resuelve el primer valor absoluto: $|-15| = 15$.
- Se resuelve el segundo valor absoluto: $|4| = 4$.
- Se suman los resultados: $15 + 4 = 19$.
- Resultado: $19$.
2 Indique la veracidad de la afirmación: $|-8| = -8$.
- Se identifica la notación de valor absoluto en el lado izquierdo.
- Se aplica la definición: la distancia de $-8$ al origen es 8 positivo; $|-8| = 8$.
- Se compara $8$ con $-8$: son distintos.
- Conclusión: La afirmación es falsa; el resultado de un valor absoluto nunca puede ser negativo.
3 ¿Es verdad que $|-6| = 6$?
- $-6$ es un número negativo, por lo que su valor absoluto es su opuesto.
- Aplicando la definición: $|-6| = -(-6) = 6$.
- Por lo tanto, $|-6| = 6$ es una afirmación verdadera.
4 ¿Puede escribirse $|{-3}| = -3$?
- Las barras de valor absoluto extraen la magnitud del número, eliminando el signo negativo.
- $|-3| = 3$, no $-3$: el resultado siempre es positivo o cero.
- Por lo tanto, no puede escribirse $|-3| = -3$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"$|-9|$ es igual a $-9$ porque el número dentro lleva signo negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Las barras de valor absoluto son lo mismo que los paréntesis o los corchetes."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$|0| = 1$ porque el valor absoluto convierte todo en positivo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La expresión $|a|$ siempre entrega un resultado distinto de $a$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"El valor absoluto de un número positivo grande es menor que el de un negativo pequeño."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Las barras $|a|$ indican que se debe calcular la distancia de $a$ al cero, por lo que el resultado nunca es negativo. Evalúalas dejando igual a los valores positivos y al cero, y cambiando cada valor negativo por su opuesto positivo.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Qué significan las barras verticales en la expresión $|a|$?
La notación $|a|$ denota el valor absoluto de $a$: su distancia al origen en la recta numérica.
Respuesta: Indican el valor absoluto: la distancia de $a$ al cero
-
Según la definición algebraica, ¿cuánto vale $|x|$ cuando $x < 0$?
Si $x < 0$, entonces $|x| = -x$. Como $x$ es negativo, $-x$ es positivo: el resultado es siempre no negativo.
Respuesta: $-x$ (el opuesto de $x$, que es positivo)
-
¿El resultado de la operación $|a|$ puede ser menor que $0$?
Por definición, $|a| \geq 0$ para todo entero $a$: el valor absoluto nunca es negativo.
Respuesta: No, siempre es mayor o igual a cero
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
¿Cuánto vale $|-13|$?
$-13$ es negativo: $|-13| = -(-13) = 13$.
Respuesta: $13$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Es $|-3| = -3$?
$|-3| = 3 \neq -3$: el valor absoluto de un negativo es su opuesto positivo.
Respuesta: Falso
-
¿Es $|-7| = |7|$?
$|-7| = 7$ y $|7| = 7$: los opuestos tienen el mismo valor absoluto.
Respuesta: Verdadero
-
¿Es $|5| = 5$?
$5 \geq 0$, por lo que $|5| = 5$ (el valor absoluto de un no-negativo es el mismo número).
Respuesta: Verdadero
-
Calcule: $|-23| + |5|$.
- Resolver el primer valor absoluto: $|-23| = 23$. 2. Resolver el segundo: $|5| = 5$. 3. Sumar: $23 + 5 = 28$.
Respuesta: 28
Variación controlada
Resolver casos donde cambia una dificultad a la vez.
-
Resuelva: $-3 \cdot |6 - 8| - |-2|$.
- Resolver el interior del primer valor absoluto: $6 - 8 = -2$, entonces $|6 - 8| = |-2| = 2$. 2. Resolver el segundo valor absoluto: $|-2| = 2$. 3. Sustituir: $-3 \cdot 2 - 2 = -6 - 2 = -8$.
Respuesta: $-8$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuánto vale $|6| - |-6|$?
$|6| = 6$ y $|-6| = 6$. Entonces $6 - 6 = 0$.
Respuesta: $0$
-
¿Cuánto vale $|-8| + |3|$?
$|-8| = 8$ y $|3| = 3$. La suma es $8 + 3 = 11$.
Respuesta: $11$
-
Si $|a| = 10$, ¿cuál es un posible valor de $a$?
$|a| = 10$ implica $a = 10$ o $a = -10$. Entre las opciones, $-10$ satisface la condición.
Respuesta: $-10$