Definición de números pares
Resumen inicial
Los números pares son todos los múltiplos enteros de 2: $n = 2k$ con $k \in \mathbb{Z}$.
Explicación en palabras simples
Un número entero es par si se puede dividir exactamente entre dos sin dejar residuo. En el conjunto de los enteros, los números pares corresponden a todos los múltiplos de 2, lo que incluye a los pares positivos, al cero y a los pares negativos.
Explicación formal
Un entero $n \in \mathbb{Z}$ se define como un Número Par si existe un entero $k \in \mathbb{Z}$ tal que:
$$n = 2k \quad \iff \quad n \equiv 0 \pmod 2$$
Desglose de la fórmula:
- $2k$: Representación de un múltiplo exacto del entero 2.
- $k \in \mathbb{Z}$: Parámetro entero que puede ser positivo, negativo o cero ($k = 0 \implies n = 0$).
- $n \equiv 0 \pmod 2$: Residuo igual a cero en la división entera por 2.
Complemento didáctico: El cero es un número par por cumplir $0 = 2(0)$, y los enteros negativos como $-4 = 2(-2)$ también conservan la paridad.
La alternativa correcta es 'Porque se puede escribir como 2k con k = 0 (múltiplo de 2)'.
Definiciones clave
- Número par: Múltiplo entero de 2 de la forma $2k$ con $k \in \mathbb{Z}$.
- Paridad entera: Propiedad de divisible por 2 extendida a todo el cuerpo de los enteros.
Propiedades y relaciones importantes
- Suma de pares: La adición de dos enteros pares resulta siempre en otro número par.
- Inclusión del cero: $0$ es par pues $0 = 2 \cdot 0$.
Ejemplo guiado
Demuestre que el entero negativo $-6$ es un número par aplicando la definición algebraicas $2k$.
- Paso 1: Buscar un número entero $k$ tal que $2k = -6$.
- Paso 2: Resolver la ecuación: $k = -3 \in \mathbb{Z}$.
- Paso 3: Escribir la relación: $-6 = 2(-3)$.
- Conclusión: Como $-3$ es un entero, $-6$ cumple la definición $2k$ y es un número par.
La alternativa correcta es 'k = -3', ya que $2(-3) = -6$.
Procedimiento
- Paso 1: Dividir el número entero dado entre 2.
- Paso 2: Comprobar que la división sea exacta sin residuo decimal.
- Paso 3: Concluir que el número es par si responde al modelo $2k$ con $k \in \mathbb{Z}$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Excluir al número cero del conjunto de los números pares. Cómo corregirlo: $0 = 2 \cdot 0$, por lo que satisface formalmente la definición de paridad.
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Error 2: Pensar que los números pares negativos no son pares. Cómo corregirlo: La paridad es una propiedad de todo el conjunto $\mathbb{Z}$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $-8 = 2(-4)$, por lo tanto $-8$ es par.
- Sumar 2 a un número par da como resultado el siguiente par consecutivo.
- Sí, $0 = 2(0)$ es un múltiplo exacto de 2.
- Sí, $-14 = 2(-7)$ es un entero par negativo.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Definir, identificar y operar con números pares en el conjunto de los enteros.
Expresando la forma algebraica $n = 2k$ con $k \in \mathbb{Z}$, verificando que $0$ es par y aplicando las reglas de paridad.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Es el cero un número par?
$0 = 2 \cdot 0$ con $n = 0 \in \mathbb{Z}$: el cero es par.
Respuesta: Sí, porque $0 = 2 \cdot 0$
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¿Cuál es la característica de un número par al dividirlo por 2?
Un entero $n$ es par si y solo si $n \div 2$ tiene resto 0 (es divisible exactamente por 2).
Respuesta: El resto de la división es cero
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¿Cómo se expresa algebraicamente cualquier número par?
Un número par es múltiplo de 2: se escribe como $2n$ para algún entero $n$.
Respuesta: $2n$, donde $n \in \mathbb{Z}$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de los siguientes números es par?
$-6 = 2 \cdot (-3)$: es múltiplo de 2, por lo tanto es par. Los demás son impares.
Respuesta: $-6$
-
Clasifica cada número como par (divisible exactamente por 2) o impar.
-470-312Un entero es par si al dividirlo por 2 el resto es 0. El signo no cambia la paridad: $-4$ es par porque $-4 \div 2 = -2$ (exacto). El 0 es par porque $0 = 2 \times 0$.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es $-6$ un número par?
$-6 = 2 \cdot (-3)$, por lo que $-6$ es divisible por 2 y es par.
Respuesta: Verdadero
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¿Es 13 un número par?
$13 \div 2 = 6$ con resto 1: no es divisible por 2, por lo tanto 13 es impar.
Respuesta: Falso
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¿Es 0 un número par?
$0 = 2 \cdot 0$: el cero es par (resto 0 al dividir por 2).
Respuesta: Verdadero
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Escriba la suma de tres números pares consecutivos siendo el primero $2n$.
- Definir el primer par: $2n$. 2. El siguiente par consecutivo es $2n + 2$. 3. El tercero es $2n + 4$. 4. Sumar: $(2n) + (2n+2) + (2n+4) = 6n + 6$.
Respuesta: $6n + 6$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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La suma de dos números pares es siempre...
$(2a) + (2b) = 2(a+b)$: la suma de pares es par.
Respuesta: Par
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¿Cuántos números pares hay entre $-4$ y $4$ (inclusive)?
Los pares en $[-4, 4]$: $-4, -2, 0, 2, 4$ → cinco números.
Respuesta: 5
-
Si $n = 2k$ para algún entero $k$, entonces $n$ es...
Por definición, si $n$ puede expresarse como $2k$ con $k \in \mathbb{Z}$, entonces $n$ es par.
Respuesta: Par
-
Si $a$ es un número par y $b$ es un número impar, ¿cuál de las siguientes expresiones representa siempre un número par?
- Recordar: par + impar = impar; par × impar = par. 2. Opción A: $a+b$ = par + impar = impar. Falsa. 3. Opción B: $ab+1$ = par + 1 = impar. Falsa. 4. Opción C: $3a+3b = 3(a+b)$ = 3(impar) = impar. Falsa. 5. Opción D: $5a$ = 5(par) = par; $4b$ = 4(impar) = par; par + par = par. Siempre par. Verdadera.
Respuesta: $5a + 4b$