Identidad pitagórica recíproca: uno más tangente cuadrado igual a secante cuadrado
Demostrar y aplicar la identidad pitagórica recíproca que relaciona la tangente y la secante de un mismo ángulo.
Introducción
Esta identidad se obtiene dividiendo la identidad pitagórica fundamental por el coseno al cuadrado, transformando seno y coseno en tangente y secante.
Explicación
Definición formal
Partiendo de $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ y dividiendo ambos lados por $\cos^2\theta$: $\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$, es decir, $\tan^2\theta+1=\sec^2\theta$.
Desarrollo didáctico
Si $\tan\theta=0{,}75$, entonces $\sec^2\theta=1+0{,}75^2=1+0{,}5625=1{,}5625$, por lo que $\sec\theta=1{,}25$ (coincidiendo con el recíproco del coseno de ese mismo ángulo).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Recuerda que esta identidad se obtiene dividiendo la identidad pitagórica fundamental por cos²θ.
- Paso 2: Si conoces tanθ, calcula sec²θ=1+tan²θ.
- Paso 3: Extrae la raíz cuadrada para obtener secθ, y de ahí cosθ=1/secθ si es necesario.
Ejemplos
1 tanθ=0,75.
- sec²θ=1+0,75²=1,5625 → secθ=1,25.
2 θ=45°, con tan45°=1.
- sec²45°=1+1²=2 → sec45°=√2, coincidiendo con 1/cos45°=1/(√2/2)=√2.
3 ¿Esta identidad se deduce de la identidad pitagórica fundamental?
- Sí, se obtiene dividiendo sin²θ+cos²θ=1 por cos²θ.
4 ¿Se puede usar esta identidad para calcular el coseno a partir de la tangente?
- Sí, una vez obtenida la secante, el coseno es simplemente su recíproco: cosθ=1/secθ.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar sumar 1 antes de elevar la tangente al cuadrado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta identidad con la fundamental (seno-coseno), aplicándola con los términos incorrectos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar sacar la raíz cuadrada al despejar la secante desde su cuadrado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para cualquier ángulo agudo $\theta$, se cumple la identidad $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La identidad pitagórica recíproca entre tangente y secante es:
Es la identidad pitagórica recíproca correspondiente a tangente y secante.
Respuesta: A) 1+tan²θ=sec²θ
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Si tanθ=0,75, entonces secθ=1,25.
1+0,75²=1,5625; √1,5625=1,25.
Respuesta: Verdadero
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¿De qué identidad se deriva esta relación?
Es la derivación algebraica de esta identidad recíproca.
Respuesta: A) De la identidad pitagórica fundamental, dividiendo por cos²θ
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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sec²θ siempre es menor que tan²θ.
Según la identidad, sec²θ=1+tan²θ, por lo que sec²θ siempre es mayor que tan²θ.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si tanθ=1, ¿cuál es sec²θ?
1+1²=2.
Respuesta: A) 2
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Si secθ=1,5, entonces tan²θ=1,25.
tan²θ=sec²θ-1=2,25-1=1,25.
Respuesta: Verdadero
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Si tanθ=√3, ¿cuál es secθ?
sec²θ=1+3=4 → secθ=2.
Respuesta: A) 2
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Existe una identidad análoga entre cosecante y cotangente, obtenida dividiendo la identidad fundamental por sin²θ.
Es la identidad 1+cot²θ=csc²θ, análoga a esta pero con seno en vez de coseno.
Respuesta: Verdadero
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Un topógrafo calcula que la tangente del ángulo de un terreno es 0,75. Usando esta identidad, ¿cuál es la secante de ese ángulo?
sec²θ=1+0,5625=1,5625 → secθ=1,25.
Respuesta: A) 1,25
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar esta identidad?
Es un error común confundir el orden de las operaciones.
Respuesta: A) Olvidar sumar 1 antes de elevar la tangente al cuadrado