Identidad pitagórica recíproca: uno más cotangente cuadrado igual a cosecante cuadrado
Demostrar y aplicar la identidad pitagórica recíproca que relaciona la cotangente y la cosecante de un mismo ángulo.
Introducción
Esta identidad se obtiene dividiendo la identidad pitagórica fundamental por el seno al cuadrado, transformando seno y coseno en cotangente y cosecante.
Explicación
Definición formal
Partiendo de $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ y dividiendo ambos lados por $\sin^2\theta$: $1+\dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=\dfrac{1}{\sin^2\theta}$, es decir, $1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$.
Desarrollo didáctico
Si $\cot\theta=\dfrac{4}{3}$, entonces $\csc^2\theta=1+\left(\dfrac{4}{3}\right)^2=1+\dfrac{16}{9}=\dfrac{25}{9}$, por lo que $\csc\theta=\dfrac{5}{3}$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Recuerda que esta identidad se obtiene dividiendo la identidad pitagórica fundamental por sin²θ.
- Paso 2: Si conoces cotθ, calcula csc²θ=1+cot²θ.
- Paso 3: Extrae la raíz cuadrada para obtener cscθ, y de ahí sinθ=1/cscθ si es necesario.
Ejemplos
1 cotθ=4/3.
- csc²θ=1+(4/3)²=1+16/9=25/9 → cscθ=5/3.
2 θ=45°, con cot45°=1.
- csc²45°=1+1²=2 → csc45°=√2, coincidiendo con 1/sin45°=1/(√2/2)=√2.
3 ¿Esta identidad se deduce de la identidad pitagórica fundamental?
- Sí, se obtiene dividiendo sin²θ+cos²θ=1 por sin²θ.
4 ¿Se puede usar esta identidad para calcular el seno a partir de la cotangente?
- Sí, una vez obtenida la cosecante, el seno es simplemente su recíproco: sinθ=1/cscθ.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar sumar 1 antes de elevar la cotangente al cuadrado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta identidad con la de secante-tangente, dividiendo por el término incorrecto."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar sacar la raíz cuadrada al despejar la cosecante desde su cuadrado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para cualquier ángulo agudo $\theta$, se cumple la identidad $1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La identidad pitagórica recíproca entre cotangente y cosecante es:
Es la identidad pitagórica recíproca correspondiente a cotangente y cosecante.
Respuesta: A) 1+cot²θ=csc²θ
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Si cotθ=4/3, entonces cscθ=5/3.
1+(4/3)²=25/9; √(25/9)=5/3.
Respuesta: Verdadero
-
¿De qué identidad se deriva esta relación?
Es la derivación algebraica de esta identidad recíproca.
Respuesta: A) De la identidad pitagórica fundamental, dividiendo por sin²θ
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
csc²θ siempre es menor que cot²θ.
Según la identidad, csc²θ=1+cot²θ, por lo que csc²θ siempre es mayor que cot²θ.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si cotθ=1, ¿cuál es csc²θ?
1+1²=2.
Respuesta: A) 2
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Si cscθ=1,5, entonces cot²θ=1,25.
cot²θ=csc²θ-1=2,25-1=1,25.
Respuesta: Verdadero
-
Si cotθ=√3, ¿cuál es cscθ?
csc²θ=1+3=4 → cscθ=2.
Respuesta: A) 2
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar esta identidad?
Es un error común confundir el orden de las operaciones.
Respuesta: A) Olvidar sumar 1 antes de elevar la cotangente al cuadrado
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Las tres identidades pitagóricas (fundamental, secante-tangente, cosecante-cotangente) se derivan todas de la misma relación base: sin²θ+cos²θ=1.
Todas parten de dividir esta identidad base por distintos términos.
Respuesta: Verdadero
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Un ingeniero calcula que la cotangente del ángulo de una viga es 4/3. Usando esta identidad, ¿cuál es la cosecante de ese ángulo?
csc²θ=1+16/9=25/9 → cscθ=5/3.
Respuesta: A) 5/3