Razones trigonométricas del ángulo de 60°
Determinar las razones trigonométricas exactas del ángulo de 60°, a partir del mismo triángulo rectángulo 30°-60°-90°.
Introducción
El ángulo de 60° comparte el mismo triángulo notable que el de 30°, pero sus razones se calculan considerando los catetos desde el otro vértice.
Explicación
Definición formal
En el mismo triángulo 30°-60°-90° (lados $1:\sqrt3:2$), ahora considerando el ángulo de 60°: el cateto opuesto es $\sqrt3$ y el adyacente es 1. Por lo tanto $\sin60°=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos60°=\frac{1}{2}$, $\tan60°=\sqrt3$.
Desarrollo didáctico
Observa que $\sin60°=\cos30°$ y $\cos60°=\sin30°$: esta es la relación de complementariedad entre ángulos que suman 90°, aplicada a este triángulo notable.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Recuerda que el triángulo 30°-60°-90° tiene lados en proporción 1:√3:2.
- Paso 2: Identifica que, para el ángulo de 60°, el cateto opuesto es √3 y el adyacente es 1 (invertidos respecto de 30°).
- Paso 3: Aplica las definiciones de seno, coseno y tangente usando estas tres medidas.
Ejemplos
1 En el triángulo 30-60-90, cateto opuesto a 60°=√3, hipotenusa=2.
- sin60°=√3/2≈0,866.
2 En el mismo triángulo, cateto opuesto a 60°=√3, adyacente=1.
- tan60°=√3/1=√3≈1,732.
3 ¿sin60° es igual a cos30°?
- Sí, por la relación de ángulos complementarios (30°+60°=90°).
4 ¿tan60° es el recíproco de tan30°?
- No, tan60°=√3 y tan30°=√3/3=1/√3; en realidad son valores recíprocos entre sí, no iguales, pero es una relación distinta a 'ser el mismo valor'. tan60°=1/tan30°, es decir, cot30°=tan60°.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el cateto opuesto a 60° con el opuesto a 30° (invertir la proporción)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que tan60°=√3 (sin racionalizar, ya que no hay raíz en el denominador en este caso)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No reconocer la relación de complementariedad entre las razones de 30° y 60°."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
En un triángulo rectángulo 30°-60°-90° con cateto opuesto a 60° igual a $\sqrt3$, cateto adyacente 1 e hipotenusa 2: $\sin60°=\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\cos60°=\dfrac{1}{2}$ y $\tan60°=\sqrt3$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
sin60° es igual a:
Es uno de los valores exactos fundamentales.
Respuesta: A) √3/2
-
cos60°=1/2.
Es el valor exacto del coseno de 60°.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuánto vale tan60°?
tan60°=√3/1=√3.
Respuesta: A) √3
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
sin60° y cos30° tienen el mismo valor.
Por la relación de complementariedad entre 30° y 60°.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Un triángulo 30-60-90 tiene hipotenusa 10 cm. ¿Cuánto mide el cateto opuesto a 60°?
El cateto opuesto a 60° es (√3/2)×hipotenusa=(√3/2)×10=5√3.
Respuesta: A) 5√3 cm
-
cos60°+sin30° = 1.
0,5+0,5=1.
Respuesta: Verdadero
-
Si el cateto adyacente a 60° mide 3 cm, ¿cuánto mide el cateto opuesto?
tan60°=opuesto/adyacente=√3 → opuesto=3×√3=3√3.
Respuesta: A) 3√3 cm
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al trabajar con las razones de 60°?
Es un error común intercambiar los catetos según el ángulo de referencia.
Respuesta: A) Confundir el cateto opuesto a 60° con el opuesto a 30°
-
Las razones de 30° y 60° están relacionadas mediante la propiedad de ángulos complementarios (suman 90°).
sin30°=cos60° y cos30°=sin60°, consecuencia de esta complementariedad.
Respuesta: Verdadero
-
Un cable tensor forma un ángulo de 60° con el suelo y mide 8 m (hipotenusa). ¿Cuál es su altura (cateto opuesto)?
Altura=8×sin60°=8×(√3/2)=4√3.
Respuesta: A) 4√3 m