Razones trigonométricas del ángulo de 45°
Determinar las razones trigonométricas exactas del ángulo de 45°, a partir de un triángulo rectángulo isósceles.
Introducción
El ángulo de 45° aparece en un triángulo rectángulo isósceles (con ambos catetos iguales), lo que permite calcular sus razones trigonométricas de forma exacta.
Explicación
Definición formal
En un triángulo rectángulo isósceles, ambos catetos miden lo mismo (por ejemplo, 1), y por el teorema de Pitágoras la hipotenusa mide $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Como los dos ángulos agudos son iguales (45° cada uno), $\sin45°=\cos45°=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\approx0{,}707$, y $\tan45°=\dfrac{1}{1}=1$.
Desarrollo didáctico
Este triángulo notable (45°-45°-90°) es uno de los dos triángulos base para memorizar los valores trigonométricos exactos, junto con el triángulo 30°-60°-90°.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Dibuja un triángulo rectángulo isósceles con ambos catetos de longitud 1.
- Paso 2: Calcula la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras: √(1²+1²)=√2.
- Paso 3: Aplica las definiciones de seno, coseno y tangente usando estas tres medidas (1, 1, √2).
Ejemplos
1 En el triángulo isósceles, cateto opuesto=1, hipotenusa=√2.
- sin45°=1/√2=√2/2≈0,707.
2 En el triángulo isósceles, ambos catetos miden 1.
- tan45°=1/1=1.
3 ¿El seno y el coseno de 45° son iguales?
- Sí, porque los dos catetos del triángulo isósceles son iguales, dando el mismo valor para ambas razones.
4 ¿La tangente de 45° es exactamente 1?
- Sí, ya que el cateto opuesto y el adyacente son iguales, su cociente es exactamente 1.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar racionalizar la fracción 1/√2, dejándola sin simplificar a √2/2."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el valor de tan45° con el de sin45° o cos45°."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar el teorema de Pitágoras incorrectamente al calcular la hipotenusa."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
En un triángulo rectángulo isósceles con catetos de longitud 1, la hipotenusa mide $\sqrt{2}$, de donde: $\sin45°=\cos45°=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ y $\tan45°=1$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En un triángulo rectángulo isósceles, sin45° es igual a:
sin45°=1/√2=√2/2.
Respuesta: A) √2/2
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sin45° y cos45° tienen el mismo valor.
Al ser un triángulo isósceles, ambas razones coinciden.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuánto vale tan45°?
Los catetos son iguales, dando tan45°=1.
Respuesta: A) 1
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
En el triángulo de 45°-45°-90°, los dos catetos son de distinta longitud.
Es un triángulo isósceles, ambos catetos son iguales.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si los catetos de un triángulo rectángulo isósceles miden 5 cm cada uno, ¿cuánto mide la hipotenusa?
√(5²+5²)=√50=5√2.
Respuesta: A) 5√2 cm
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cos45°≈0,707.
√2/2≈0,707.
Respuesta: Verdadero
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Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 45° y cateto opuesto de 8 cm. ¿Cuánto mide el cateto adyacente?
Como tan45°=1, ambos catetos son iguales: 8 cm.
Respuesta: A) 8 cm
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al trabajar con las razones de 45°?
Es una práctica estándar dejar el resultado sin raíz en el denominador.
Respuesta: A) No racionalizar 1/√2 a √2/2
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El triángulo 45°-45°-90° es uno de los dos triángulos rectángulos notables usados para memorizar valores trigonométricos exactos.
Junto con el triángulo 30°-60°-90°, son la base de la tabla de valores notables.
Respuesta: Verdadero
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Una rampa forma un ángulo de 45° con el suelo y tiene una altura de 3 m. ¿Cuál es la longitud horizontal recorrida (cateto adyacente)?
Como tan45°=1, el cateto adyacente es igual al opuesto: 3 m.
Respuesta: A) 3 m