Demostración geométrica de la ley de senos mediante alturas

U — Universitario / fuera de foco PAES Avanzada
Objetivo

Demostrar la ley de senos trazando la altura desde un vértice del triángulo, expresándola de dos formas equivalentes mediante seno de los ángulos adyacentes.

Introducción

Al trazar una altura dentro de un triángulo oblicuángulo, se forman dos triángulos rectángulos que comparten esa altura, lo que permite relacionar los ángulos y lados originales.

Explicación

Demostración de la ley de senos

Definición formal

Sea $H$ el pie de la altura trazada desde $C$ hasta $AB$. En el triángulo rectángulo $ACH$, $\sin A=\dfrac{h}{b}$, por lo que $h=b\sin A$. En el triángulo rectángulo $BCH$, $\sin B=\dfrac{h}{a}$, por lo que $h=a\sin B$. Igualando ambas expresiones de $h$: $b\sin A=a\sin B$, es decir, $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$.

Desarrollo didáctico

Esta demostración muestra que la ley de senos no es un resultado arbitrario, sino consecuencia directa de aplicar la definición de seno en los dos triángulos rectángulos que se forman al trazar una altura dentro del triángulo original.

Cómo hacerlo paso a paso

  • Paso 1: Traza la altura h desde un vértice hasta el lado opuesto (o su prolongación), formando dos triángulos rectángulos.
  • Paso 2: Expresa h de dos formas distintas, usando el seno de cada uno de los dos ángulos adyacentes a esa altura.
  • Paso 3: Iguala ambas expresiones de h para obtener la proporcionalidad de la ley de senos.

Ejemplos

1 Altura trazada desde C hasta AB, formando ángulos A y B.
2 De b·sinA=a·sinB.
3 ¿Se forman dos triángulos rectángulos al trazar la altura?
4 ¿Esta demostración depende de que el triángulo original sea rectángulo?

Ejemplos Verdadero/Falso

"Confundir cuál cateto corresponde a la altura y cuál a la hipotenusa en cada triángulo rectángulo formado."

¿Es correcta esta afirmación?

"Olvidar que, en triángulos obtusángulos, la altura puede caer fuera del segmento entre los vértices, sobre la prolongación del lado."

¿Es correcta esta afirmación?

"No igualar correctamente las dos expresiones de la altura h al final de la demostración."

¿Es correcta esta afirmación?

Fuente: Elaboración propia.
Resumen

Trazando la altura $h$ desde el vértice $C$ hasta el lado $AB$, se cumple $h=b\sin A=a\sin B$, de donde se deduce $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Al trazar la altura h desde C hasta AB, se cumple:

  2. Trazar una altura dentro de un triángulo oblicuángulo forma dos triángulos rectángulos.

  3. ¿Qué relación se obtiene al igualar las dos expresiones de la altura h?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Esta demostración solo es válida para triángulos rectángulos.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. En el triángulo rectángulo ACH, ¿qué representa sinA?

  2. En el triángulo rectángulo BCH, sinB=h/a.

  3. Si b=10, A=30° y a=8, ¿es consistente sinB con la ley de senos si B≈38,7°?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Esta demostración puede repetirse trazando la altura desde otro vértice, para relacionar los otros dos lados con sus ángulos opuestos.

  2. ¿Qué ocurre con esta demostración si el triángulo es obtusángulo?

  3. ¿Por qué esta demostración es considerada una prueba rigurosa y no solo una verificación numérica?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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