Demostración geométrica de la ley de cosenos mediante descomposición del triángulo
Demostrar la ley de cosenos trazando una altura dentro del triángulo, descomponiendo un lado en dos segmentos y aplicando el teorema de Pitágoras a los dos triángulos rectángulos formados.
Introducción
Al trazar la altura desde un vértice, el lado opuesto queda dividido en dos segmentos, y aplicando Pitágoras a ambos triángulos rectángulos se puede deducir algebraicamente la ley de cosenos.
Explicación
Definición formal
Sea $H$ el pie de la altura desde $C$. En el triángulo $ACH$, $AH=b\cos A$ y $CH=b\sin A$. Como $HB=c-b\cos A$, aplicando Pitágoras en el triángulo $BCH$: $a^2=CH^2+HB^2=(b\sin A)^2+(c-b\cos A)^2$. Expandiendo: $a^2=b^2\sin^2A+c^2-2bc\cos A+b^2\cos^2A=b^2(\sin^2A+\cos^2A)+c^2-2bc\cos A=b^2+c^2-2bc\cos A$.
Desarrollo didáctico
Esta demostración combina la altura de un triángulo, el teorema de Pitágoras y la identidad pitagórica $\sin^2A+\cos^2A=1$, mostrando que la ley de cosenos surge naturalmente de estas tres herramientas básicas.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Traza la altura h desde un vértice hasta el lado opuesto, dividiéndolo en dos segmentos.
- Paso 2: Expresa ambos segmentos y la altura en función del ángulo conocido, usando seno y coseno.
- Paso 3: Aplica el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo restante y simplifica usando la identidad pitagórica.
Ejemplos
1 Altura desde C hasta AB, con AH=b·cosA y HB=c-b·cosA.
- El lado AB (de longitud c) queda dividido en AH=b·cosA y HB=c-AH=c-b·cosA.
2 CH=b·sinA, HB=c-b·cosA.
- a²=(b·sinA)²+(c-b·cosA)², que al expandirse y simplificarse usando sin²A+cos²A=1 da a²=b²+c²-2bc·cosA.
3 ¿Esta demostración usa el teorema de Pitágoras?
- Sí, se aplica en el triángulo rectángulo formado por la altura.
4 ¿Se usa la identidad pitagórica sin²A+cos²A=1 en esta demostración?
- Sí, es clave para simplificar la expresión final y llegar a la ley de cosenos.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Calcular incorrectamente la longitud del segundo segmento (HB), olvidando restar b·cosA de c."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Omitir la simplificación final usando la identidad pitagórica, dejando la expresión sin reducir."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar esta demostración solo para ángulos agudos, sin considerar el caso de ángulos obtusos (donde cosA es negativo)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Trazando la altura $h$ desde el vértice $C$ hasta el lado $AB$ (dividiéndolo en segmentos de longitud $b\cos A$ y $c-b\cos A$), y aplicando el teorema de Pitágoras, se deduce $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al trazar la altura desde C, el lado AB (=c) queda dividido en segmentos:
Es la descomposición usada en esta demostración.
Respuesta: A) b·cosA y c-b·cosA
-
Esta demostración usa el teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo formado por la altura.
Es la base de la demostración.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué identidad se usa para simplificar la expresión final de esta demostración?
Permite simplificar b²sin²A+b²cos²A a b².
Respuesta: A) sin²A+cos²A=1
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Esta demostración no requiere ninguna identidad trigonométrica adicional.
Requiere la identidad pitagórica para simplificar el resultado final.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuál es la altura CH en función de b y A?
Es el cateto opuesto al ángulo A en el triángulo ACH.
Respuesta: A) b·sinA
-
AH=b·cosA es el cateto adyacente al ángulo A en el triángulo ACH.
Es la proyección de b sobre el lado AB.
Respuesta: Verdadero
-
Al expandir (c-b·cosA)², ¿qué términos se obtienen?
Es el desarrollo del cuadrado de un binomio.
Respuesta: A) c²-2bc·cosA+b²cos²A
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Esta demostración confirma que la ley de cosenos es consecuencia directa del teorema de Pitágoras combinado con la identidad pitagórica.
Es exactamente lo que muestra el desarrollo algebraico de la demostración.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué ocurre con la fórmula a²=b²+c²-2bc·cosA si A=90°?
Es la conexión directa entre ambas fórmulas.
Respuesta: A) Se reduce al teorema de Pitágoras, ya que cos90°=0
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¿Por qué esta demostración es válida también cuando A es un ángulo obtuso?
El álgebra de la demostración se mantiene consistente incluso si H cae fuera del segmento.
Respuesta: A) Porque cosA es negativo en ese caso, y la fórmula sigue siendo algebraicamente consistente (aunque H caiga fuera del segmento AB)