Cálculo del tercer lado conocidos dos lados y el ángulo comprendido
Calcular el tercer lado de un triángulo utilizando la ley de cosenos, cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (configuración LAL).
Introducción
A diferencia de la ley de senos, que requiere un par lado-ángulo opuesto completo, la ley de cosenos permite resolver directamente una configuración lado-ángulo-lado (LAL), sin ambigüedad.
Explicación
Definición formal
De la ley de cosenos $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, se obtiene directamente $a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}$, sin necesidad de despejar ningún ángulo previamente.
Desarrollo didáctico
Si $b=7$, $c=9$ y $A=50°$, entonces $a=\sqrt{49+81-2\times7\times9\times\cos50°}\approx\sqrt{130-90{,}9}\approx\sqrt{39{,}1}\approx6{,}25$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los dos lados conocidos y el ángulo comprendido entre ellos.
- Paso 2: Sustituye los valores en a²=b²+c²-2bc·cosA.
- Paso 3: Calcula a extrayendo la raíz cuadrada del resultado.
Ejemplos
1 Se busca el lado a.
- a²=49+81-126×cos50°≈130-81≈49; a≈7 (valor aproximado).
2 Triángulo rectángulo isósceles.
- a²=100+100-200×cos90°=200-0=200; a=√200≈14,14.
3 ¿Esta configuración (LAL) presenta el caso ambiguo?
- No, LAL siempre determina un único triángulo, a diferencia de SSA.
4 ¿Es necesario calcular primero algún ángulo antes de encontrar el lado desconocido?
- No, la ley de cosenos permite calcular el lado directamente a partir de los dos lados y el ángulo comprendido.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Usar un ángulo que no está comprendido entre los dos lados conocidos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar extraer la raíz cuadrada al final del cálculo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta configuración (LAL) con una que sí presenta ambigüedad (SSA)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Dado un ángulo $A$ comprendido entre los lados $b$ y $c$, el lado opuesto $a$ se calcula como $a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para calcular el lado a conociendo b, c y el ángulo A comprendido, se usa:
Es la aplicación directa de la ley de cosenos.
Respuesta: A) a=√(b²+c²-2bc·cosA)
-
La configuración LAL (lado-ángulo-lado) no presenta el caso ambiguo.
Siempre determina un triángulo único.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué condición debe cumplir el ángulo conocido en esta configuración?
Es la definición de la configuración LAL.
Respuesta: A) Debe estar comprendido entre los dos lados conocidos
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Con datos LAL, se debe usar primero la ley de senos antes que la de cosenos.
Con LAL se aplica directamente la ley de cosenos para el tercer lado.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si b=6, c=6 y A=60°, ¿cuál es a?
a²=36+36-72×0,5=72-36=36 → a=6 (triángulo equilátero).
Respuesta: A) 6
-
Si b=8, c=15 y A=90°, entonces a=17.
a²=64+225-0=289 → a=17 (terna pitagórica 8-15-17).
Respuesta: Verdadero
-
Si b=5, c=12 y A=90°, ¿cuál es a?
a²=25+144=169 → a=13 (terna pitagórica 5-12-13).
Respuesta: A) 13
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Este método es útil, por ejemplo, para calcular la distancia directa entre dos puntos conociendo sus distancias a un tercer punto de referencia y el ángulo entre esas dos distancias.
Es una aplicación práctica común en navegación y topografía.
Respuesta: Verdadero
-
Dos senderos parten de un mismo punto con un ángulo de 70° entre ellos, uno de 300 m y otro de 400 m. ¿Cuál es la distancia entre sus extremos (aproximada)?
a²=300²+400²-2×300×400×cos70°=90000+160000-82080=167920 → a=√167920≈409,8 m.
Respuesta: A) 409,8 m
-
¿Por qué la configuración LAL no presenta ambigüedad, a diferencia de SSA?
Es la razón geométrica de por qué LAL determina un único triángulo.
Respuesta: A) Porque el ángulo comprendido fija completamente la posición del tercer vértice