Cálculo de un ángulo conocidos los tres lados del triángulo
Calcular un ángulo de un triángulo utilizando la ley de cosenos, cuando se conocen los tres lados (configuración LLL).
Introducción
Cuando se conocen los tres lados de un triángulo pero ninguno de sus ángulos, la ley de cosenos permite despejar el coseno de cualquiera de ellos, sin ambigüedad.
Explicación
Definición formal
Despejando $\cos A$ de $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, se obtiene $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
Desarrollo didáctico
Si $a=7$, $b=8$ y $c=9$, entonces $\cos A=\dfrac{64+81-49}{2\times8\times9}=\dfrac{96}{144}\approx0{,}667$, por lo que $A\approx48{,}2°$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el ángulo que se busca y el lado opuesto a ese ángulo.
- Paso 2: Despeja el coseno del ángulo: cosA=(b²+c²-a²)/(2bc).
- Paso 3: Aplica arcocoseno para obtener la medida del ángulo.
Ejemplos
1 Se busca el ángulo A.
- cosA=(64+81-49)/144=96/144≈0,667 → A≈48,2°.
2 Triángulo equilátero.
- cosA=(25+25-25)/50=25/50=0,5 → A=60°, consistente con un triángulo equilátero.
3 ¿Este método (LLL) presenta el caso ambiguo?
- No, conocidos los tres lados, el ángulo se determina de forma única (arcocoseno siempre da un único valor entre 0° y 180°).
4 ¿Es necesario aplicar arcocoseno al final del procedimiento?
- Sí, luego de despejar cosA, se aplica arcocoseno para obtener la medida del ángulo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir qué lado va en el numerador con signo negativo (debe ser el lado opuesto al ángulo buscado)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar aplicar arcocoseno después de despejar el valor del coseno."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Intentar aplicar la ley de senos en vez de la de cosenos cuando solo se conocen los tres lados."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Dados los tres lados $a$, $b$, $c$ de un triángulo, el ángulo $A$ (opuesto a $a$) se calcula despejando $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, y luego $A=\arccos\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para calcular el ángulo A conociendo a, b y c, se usa:
Se despeja de la ley de cosenos a²=b²+c²-2bc·cosA.
Respuesta: A) cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
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Conocidos los tres lados, el ángulo se determina de forma única, sin ambigüedad.
arcocoseno siempre da un único valor entre 0° y 180°.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué lado debe restarse en el numerador al calcular cosA?
Es el lado opuesto al ángulo que se está calculando.
Respuesta: A) El lado a (opuesto al ángulo A)
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Con datos LLL, se debe usar la ley de senos en primer lugar.
Con LLL, ningún ángulo es conocido, por lo que se debe usar primero la ley de cosenos.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si a=5, b=5, c=5, ¿cuál es cosA?
cosA=(25+25-25)/50=0,5, correspondiente a A=60° (triángulo equilátero).
Respuesta: A) 0,5
-
Si a=13, b=5, c=12, entonces A=90°.
cosA=(25+144-169)/120=0/120=0, por lo que A=90° (terna pitagórica 5-12-13).
Respuesta: Verdadero
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Si a=9, b=7, c=8, ¿cuál es cosA (aproximado)?
cosA=(49+64-81)/(2×7×8)=32/112≈0,286.
Respuesta: A) 0,286
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si el valor calculado de cosA es negativo, el ángulo A es obtuso.
El coseno es negativo exactamente para ángulos obtusos (entre 90° y 180°).
Respuesta: Verdadero
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Un triángulo tiene lados a=10, b=6, c=5. ¿Es A un ángulo obtuso?
cosA=(36+25-100)/60=-39/60=-0,65, negativo, por lo que A es obtuso.
Respuesta: A) Sí, porque cosA=(36+25-100)/60 es negativo
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¿Por qué esta configuración (LLL) no presenta el caso ambiguo, a diferencia de SSA?
Es la razón matemática de por qué LLL no es ambiguo.
Respuesta: A) Porque el arcocoseno da un único valor entre 0° y 180°, mientras que el arcoseno puede dar dos