Cálculo de lados mediante la ley de senos
Calcular la longitud de un lado desconocido de un triángulo oblicuángulo utilizando la ley de senos, conociendo un lado y dos ángulos (o un lado, su ángulo opuesto y otro ángulo).
Introducción
Cuando se conoce un lado con su ángulo opuesto, y además otro ángulo del triángulo, se puede despejar cualquier otro lado usando la proporcionalidad de la ley de senos.
Explicación
Definición formal
De la proporción $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$, se despeja $b=\dfrac{a\cdot\sin B}{\sin A}$.
Desarrollo didáctico
Si $a=10$, $A=40°$ y $B=70°$, entonces $b=\dfrac{10\cdot\sin70°}{\sin40°}\approx\dfrac{10\times0{,}940}{0{,}643}\approx14{,}6$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el lado y ángulo opuesto conocidos (el par completo).
- Paso 2: Identifica el ángulo opuesto al lado que se busca.
- Paso 3: Despeja el lado desconocido: lado=lado_conocido×sin(ángulo buscado opuesto)/sin(ángulo conocido opuesto).
Ejemplos
1 Se busca el lado b.
- b=10×sin70°/sin40°≈10×0,940/0,643≈14,6.
2 Se busca el lado a.
- a=15×sin60°/sin50°≈15×0,866/0,766≈16,96.
3 ¿Se necesita conocer un ángulo y su lado opuesto completo para aplicar este cálculo?
- Sí, sin ese par completo no se puede formar la proporción de la ley de senos.
4 ¿El resultado depende del orden en que se escriban los términos de la proporción?
- No, mientras se respete qué lado va con qué ángulo opuesto, el resultado es el mismo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Despejar el lado usando el ángulo incorrecto (que no es su opuesto)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el numerador y el denominador al despejar la incógnita."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar convertir correctamente los senos calculados con calculadora en modo grados."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para calcular un lado desconocido $x$ opuesto a un ángulo $X$, conociendo un lado $a$ y su ángulo opuesto $A$, se usa $x=\dfrac{a\cdot\sin X}{\sin A}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para despejar el lado b conociendo a, A y B, se usa:
Se despeja de la proporción a/sinA=b/sinB.
Respuesta: A) b=a·sinB/sinA
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Para usar este método se necesita conocer un lado y su ángulo opuesto.
Sin ese par completo no se puede plantear la proporción.
Respuesta: Verdadero
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Si se conocen a, A y C, ¿qué lado se puede calcular directamente?
c es el lado opuesto a C, que ya se conoce, por lo que se puede calcular directamente con a y A.
Respuesta: A) c
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Se puede calcular un lado sin conocer ningún ángulo opuesto a un lado conocido.
Es imprescindible tener al menos un par lado-ángulo opuesto completo.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si a=8, A=30° y B=45°, ¿cuál es b (aproximado)?
b=8×sin45°/sin30°=8×0,707/0,5≈11,3.
Respuesta: A) 11,3
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Si c=20, C=90° y A=30°, entonces a=10.
a=20×sin30°/sin90°=20×0,5/1=10.
Respuesta: Verdadero
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Si b=18, B=80° y C=40°, ¿cuál es c (aproximado)?
c=18×sin40°/sin80°≈18×0,643/0,985≈11,7.
Respuesta: A) 11,7
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Este método es especialmente útil para resolver triángulos en topografía cuando se conocen dos ángulos y un lado.
Es una aplicación práctica común de la ley de senos.
Respuesta: Verdadero
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Un topógrafo mide a=25 m, A=35° y B=65°. ¿Cuál es b (aproximado)?
b=25×sin65°/sin35°≈25×0,906/0,574≈39,5.
Respuesta: A) 39,5 m
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¿Cuál es el error frecuente al calcular un lado con la ley de senos?
Es un error común al emparejar mal lados y ángulos.
Respuesta: A) Usar el ángulo opuesto incorrecto al lado buscado