Relación entre tangente y cotangente de ángulos complementarios
Establecer que la tangente de un ángulo es igual a la cotangente de su ángulo complementario (y viceversa), para ángulos complementarios (que suman 90°).
Introducción
De la misma forma que seno y coseno se intercambian entre ángulos complementarios, la tangente se relaciona con la cotangente del ángulo complementario, ya que ambas son cocientes de seno y coseno intercambiados.
Explicación
Definición formal
Como $\tan(90°-x)=\dfrac{\sin(90°-x)}{\cos(90°-x)}=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x$, se obtiene la identidad de complementariedad entre tangente y cotangente.
Desarrollo didáctico
En la figura, θ=40° y su complementario 90°-θ=50°. Se cumple que tan40°=cot50° y cot40°=tan50°, ya que ambas razones intercambian su papel al pasar de un ángulo a su complementario.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que los dos ángulos sean complementarios (sumen 90°).
- Paso 2: Aplica tan(90°-x)=cotx, o de forma equivalente cot(90°-x)=tanx.
- Paso 3: Usa esta relación para obtener el valor de una razón a partir de la otra.
Ejemplos
1 θ=40°, complementario 50°.
- tan40°=cot50° y cot40°=tan50°, por ser ángulos complementarios.
2 tan55°≈1,428.
- cot35°=tan(90°-35°)=tan55°≈1,428.
3 ¿La tangente de un ángulo es igual a la cotangente de su complementario?
- Sí, es exactamente esta identidad de complementariedad.
4 ¿Esta identidad se deduce de la relación entre seno y coseno complementarios?
- Sí, se obtiene sustituyendo la relación de seno y coseno complementarios en la definición de tangente.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir esta identidad con la de seno y coseno complementarios."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la relación con la tangente en ambos lados, sin cambiar a cotangente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar verificar que los ángulos realmente sumen 90° antes de aplicar la identidad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si $x$ y $90°-x$ son ángulos complementarios, se cumple $\tan(90°-x)=\cot x$ y $\cot(90°-x)=\tan x$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si x y 90°-x son complementarios, tan(90°-x) es igual a:
Es la identidad de complementariedad entre tangente y cotangente.
Respuesta: A) cotx
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tan40°=cot50°.
40° y 50° son complementarios.
Respuesta: Verdadero
-
¿De qué otra identidad se deduce esta relación?
Se deriva sustituyendo esa relación en la definición de tangente.
Respuesta: A) De la relación entre seno y coseno de ángulos complementarios
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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tan(90°-x)=tanx para cualquier x.
La identidad correcta es tan(90°-x)=cotx, no tanx.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si cot20°≈2,747, ¿cuál es tan70°?
70°=90°-20°, por lo que tan70°=cot20°≈2,747.
Respuesta: A) 2,747
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Si tan30°≈0,577, entonces cot60°≈0,577.
60°=90°-30°, por lo que cot60°=tan30°≈0,577.
Respuesta: Verdadero
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Si tan(90°-x)=3, ¿cuál es cotx?
tan(90°-x)=cotx=3 directamente.
Respuesta: A) 3
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Esta identidad es consistente con el hecho de que tanx y cotx son razones recíprocas entre sí solo cuando x=45°.
tanx y cotx son siempre recíprocas entre sí (cotx=1/tanx), para cualquier x, no solo en 45°.
Respuesta: Falso
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Si cot(90°-x)=0,75, ¿cuál es tanx?
cot(90°-x)=tanx=0,75 directamente.
Respuesta: A) 0,75
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¿Por qué la tangente y la cotangente se intercambian entre ángulos complementarios?
Es la justificación algebraica de la identidad.
Respuesta: A) Porque ambas se definen a partir de seno y coseno, que también se intercambian entre complementarios