Relación del seno entre ángulos suplementarios
Establecer que el seno de un ángulo es igual al seno de su ángulo suplementario (ángulos que suman 180°).
Introducción
Dos ángulos son suplementarios si su suma es 180°. En la circunferencia unitaria, los puntos correspondientes a ángulos suplementarios tienen la misma coordenada y (altura), por lo que comparten el mismo seno.
Explicación
Definición formal
Para cualquier ángulo $x$, se cumple $\sin(180°-x)=\sin x$, ya que el punto correspondiente a $180°-x$ en la circunferencia unitaria es el reflejo horizontal del punto correspondiente a $x$, con la misma coordenada y.
Desarrollo didáctico
En la figura, θ=50° y su suplementario 180°-θ=130°. Ambos ángulos tienen el mismo seno, ya que sus puntos en la circunferencia unitaria están a la misma altura (misma coordenada y), aunque con coordenada x de signo opuesto.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que los dos ángulos sumen 180° (sean suplementarios).
- Paso 2: Aplica sin(180°-x)=sinx.
- Paso 3: Usa esta relación para obtener el seno de un ángulo obtuso a partir del seno de su suplementario agudo.
Ejemplos
1 θ=50°, suplementario 130°.
- sin50°=sin130°, por ser ángulos suplementarios.
2 sin30°=0,5.
- sin150°=sin(180°-150°)=sin30°=0,5.
3 ¿El seno de un ángulo obtuso puede calcularse usando su suplementario agudo?
- Sí, esta identidad permite justamente eso.
4 ¿La suma de dos ángulos suplementarios es siempre 180°?
- Sí, es la definición de ángulos suplementarios.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir ángulos suplementarios (suman 180°) con complementarios (suman 90°)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar esta identidad al coseno en vez de al seno."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que esta relación NO cambia el signo del seno (a diferencia del coseno)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si $x$ y $180°-x$ son ángulos suplementarios, se cumple $\sin(180°-x)=\sin x$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si x y 180°-x son suplementarios, sin(180°-x) es igual a:
Es la identidad de suplementariedad del seno.
Respuesta: A) sinx
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sin50°=sin130°.
50° y 130° son suplementarios (suman 180°).
Respuesta: Verdadero
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¿Qué condición deben cumplir dos ángulos para que se cumpla esta relación?
Esa es la definición de ángulos suplementarios.
Respuesta: A) Que su suma sea 180°
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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sin(180°-x)=-sinx.
La identidad correcta es sin(180°-x)=sinx, sin cambio de signo.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si sin40°≈0,643, ¿cuál es sin140°?
140°=180°-40°, por lo que sin140°=sin40°≈0,643.
Respuesta: A) 0,643
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sin(160°)=sin(20°).
160°=180°-20°, ángulos suplementarios.
Respuesta: Verdadero
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Si sin(180°-x)=0,9, ¿cuál es sinx?
sin(180°-x)=sinx=0,9 directamente.
Respuesta: A) 0,9
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En un triángulo, un ángulo mide 130°. ¿Cuál es su seno, sabiendo que sin50°≈0,766?
130°=180°-50°, por lo que sin130°=sin50°≈0,766.
Respuesta: A) 0,766
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¿Por qué el seno no cambia de signo entre ángulos suplementarios?
Es la justificación geométrica de esta identidad.
Respuesta: A) Porque ambos ángulos tienen puntos en la circunferencia unitaria con la misma coordenada y
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Esta identidad es la base para calcular el seno de un ángulo obtuso conocido su ángulo de referencia agudo.
Es equivalente a la reducción al primer cuadrante para ángulos del segundo cuadrante.
Respuesta: Verdadero