Relación del coseno entre ángulos suplementarios
Establecer que el coseno de un ángulo es igual al opuesto del coseno de su ángulo suplementario (ángulos que suman 180°).
Introducción
A diferencia del seno, el coseno sí cambia de signo entre ángulos suplementarios, porque los puntos correspondientes en la circunferencia unitaria son reflejos horizontales entre sí, con coordenadas x opuestas.
Explicación
Definición formal
Para cualquier ángulo $x$, se cumple $\cos(180°-x)=-\cos x$, ya que el punto correspondiente a $180°-x$ en la circunferencia unitaria tiene la misma coordenada y pero coordenada x opuesta a la del punto correspondiente a $x$.
Desarrollo didáctico
En la figura, θ=35° y su suplementario 180°-θ=145°. Se cumple que cos145°=-cos35°, ya que ambos ángulos comparten la misma altura (mismo seno) pero están reflejados horizontalmente (coseno de signo opuesto).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que los dos ángulos sumen 180° (sean suplementarios).
- Paso 2: Aplica cos(180°-x)=-cosx, recordando el cambio de signo.
- Paso 3: Usa esta relación para obtener el coseno de un ángulo obtuso a partir del coseno (con signo cambiado) de su suplementario agudo.
Ejemplos
1 θ=35°, suplementario 145°.
- cos145°=-cos35°, por ser ángulos suplementarios.
2 cos30°=√3/2≈0,866.
- cos150°=-cos(180°-150°)=-cos30°≈-0,866.
3 ¿El coseno cambia de signo entre ángulos suplementarios?
- Sí, a diferencia del seno, el coseno sí cambia de signo.
4 ¿El coseno de un ángulo obtuso es siempre negativo?
- Sí, porque los ángulos obtusos están en el segundo cuadrante, donde el coseno es negativo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar el cambio de signo al aplicar esta identidad (a diferencia del seno)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta identidad con la del seno de ángulos suplementarios."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar el signo negativo incorrectamente, cambiándolo también en ángulos agudos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si $x$ y $180°-x$ son ángulos suplementarios, se cumple $\cos(180°-x)=-\cos x$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si x y 180°-x son suplementarios, cos(180°-x) es igual a:
Es la identidad de suplementariedad del coseno, con cambio de signo.
Respuesta: A) -cosx
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cos145°=-cos35°.
145° y 35° son suplementarios.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué distingue esta identidad de la del seno de ángulos suplementarios?
Es la diferencia clave entre ambas identidades.
Respuesta: A) El coseno cambia de signo, mientras que el seno no
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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cos(180°-x)=cosx.
La identidad correcta incluye un cambio de signo: cos(180°-x)=-cosx.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si cos40°≈0,766, ¿cuál es cos140°?
140°=180°-40°, por lo que cos140°=-cos40°≈-0,766.
Respuesta: A) -0,766
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cos(160°)=-cos(20°).
160°=180°-20°, ángulos suplementarios.
Respuesta: Verdadero
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Si cos(180°-x)=-0,5, ¿cuál es cosx?
cos(180°-x)=-cosx=-0,5 → cosx=0,5.
Respuesta: A) 0,5
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Esta identidad permite justificar por qué el coseno de todo ángulo obtuso es negativo.
Todo ángulo obtuso es suplementario de un ángulo agudo con coseno positivo, que se invierte a negativo.
Respuesta: Verdadero
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En un triángulo, un ángulo mide 145°. ¿Cuál es su coseno, sabiendo que cos35°≈0,819?
145°=180°-35°, por lo que cos145°=-cos35°≈-0,819.
Respuesta: A) -0,819
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¿Por qué el coseno cambia de signo entre ángulos suplementarios?
Es la justificación geométrica de esta identidad.
Respuesta: A) Porque los puntos correspondientes en la circunferencia unitaria tienen coordenadas x opuestas