Relación de la tangente entre ángulos suplementarios
Establecer que la tangente de un ángulo es igual al opuesto de la tangente de su ángulo suplementario (ángulos que suman 180°).
Introducción
Como la tangente es el cociente entre seno y coseno, y el seno no cambia de signo entre suplementarios mientras que el coseno sí, la tangente hereda ese cambio de signo del coseno.
Explicación
Definición formal
Como $\tan(180°-x)=\dfrac{\sin(180°-x)}{\cos(180°-x)}=\dfrac{\sin x}{-\cos x}=-\tan x$, se obtiene la identidad de suplementariedad de la tangente.
Desarrollo didáctico
En la figura, θ=25° y su suplementario 180°-θ=155°. Se cumple que tan155°=-tan25°, consecuencia directa de que el seno se mantiene igual y el coseno cambia de signo entre ambos ángulos.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que los dos ángulos sumen 180° (sean suplementarios).
- Paso 2: Aplica tan(180°-x)=-tanx, recordando el cambio de signo.
- Paso 3: Usa esta relación para obtener la tangente de un ángulo obtuso a partir de la tangente (con signo cambiado) de su suplementario agudo.
Ejemplos
1 θ=25°, suplementario 155°.
- tan155°=-tan25°, por ser ángulos suplementarios.
2 tan60°=√3≈1,732.
- tan120°=-tan(180°-120°)=-tan60°≈-1,732.
3 ¿La tangente cambia de signo entre ángulos suplementarios?
- Sí, hereda el cambio de signo del coseno.
4 ¿La tangente de todo ángulo obtuso es negativa?
- Sí, porque los ángulos obtusos están en el segundo cuadrante, donde la tangente es negativa.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar el cambio de signo al aplicar esta identidad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta identidad con la del seno de ángulos suplementarios (que no cambia de signo)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar esta relación a ángulos que no sean realmente suplementarios."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si $x$ y $180°-x$ son ángulos suplementarios, se cumple $\tan(180°-x)=-\tan x$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si x y 180°-x son suplementarios, tan(180°-x) es igual a:
Es la identidad de suplementariedad de la tangente, con cambio de signo.
Respuesta: A) -tanx
-
tan155°=-tan25°.
155° y 25° son suplementarios.
Respuesta: Verdadero
-
¿De qué otras dos identidades se deduce esta relación?
Se obtiene dividiendo esas dos identidades.
Respuesta: A) De las identidades de suplementariedad del seno y del coseno
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
tan(180°-x)=tanx.
La identidad correcta incluye un cambio de signo: tan(180°-x)=-tanx.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si tan50°≈1,19, ¿cuál es tan130°?
130°=180°-50°, por lo que tan130°=-tan50°≈-1,19.
Respuesta: A) -1,19
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tan(160°)=-tan(20°).
160°=180°-20°, ángulos suplementarios.
Respuesta: Verdadero
-
Si tan(180°-x)=-2, ¿cuál es tanx?
tan(180°-x)=-tanx=-2 → tanx=2.
Respuesta: A) 2
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cómo se deduce la identidad de suplementariedad de la tangente?
tan(180°-x)=sin(180°-x)/cos(180°-x)=sinx/(-cosx)=-tanx.
Respuesta: A) Dividiendo la identidad de suplementariedad del seno entre la del coseno
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Esta identidad confirma que la tangente es negativa en todo el segundo cuadrante.
Todo ángulo obtuso es suplementario de un agudo con tangente positiva, que se invierte a negativa.
Respuesta: Verdadero
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En un triángulo, un ángulo mide 155°. ¿Cuál es su tangente, sabiendo que tan25°≈0,466?
155°=180°-25°, por lo que tan155°=-tan25°≈-0,466.
Respuesta: A) -0,466