Identidad del seno del ángulo doble
Aplicar la identidad del seno del ángulo doble, que expresa sin(2x) en función del seno y el coseno de x.
Introducción
Esta identidad es un caso particular de la fórmula del seno de una suma, cuando ambos ángulos que se suman son iguales (α=β=x).
Explicación
Definición formal
Haciendo $\alpha=\beta=x$ en la identidad $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$, se obtiene $\sin(2x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x$.
Desarrollo didáctico
En la figura, θ=35° y 2θ=70°. Se puede verificar que sin70°=2·sin35°·cos35°, en vez de calcular sin70° de forma independiente.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el ángulo x cuyo doble se quiere calcular.
- Paso 2: Obtén (o calcula) los valores de sinx y cosx.
- Paso 3: Aplica la fórmula sin(2x)=2·sinx·cosx.
Ejemplos
1 sin30°=0,5, cos30°=√3/2≈0,866.
- sin60°=2×0,5×0,866≈0,866, coincidiendo con el valor conocido de sin60°.
2 sinx=0,6, cosx=0,8.
- sin(2x)=2×0,6×0,8=0,96.
3 ¿Esta identidad se deduce de la fórmula del seno de una suma?
- Sí, haciendo α=β=x en esa fórmula.
4 ¿sin(2x) es siempre el doble de sinx?
- No, sin(2x)=2·sinx·cosx, no simplemente 2·sinx; solo coincidirían si cosx=1.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir sin(2x) con 2·sinx, olvidando el factor cosx."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar el factor 2 en la fórmula, calculando solo sinx·cosx."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar valores de seno y coseno de ángulos distintos entre sí en la fórmula."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para cualquier ángulo $x$, se cumple $\sin(2x)=2\sin x\cos x$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
sin(2x) es igual a:
Es la identidad del seno del ángulo doble.
Respuesta: A) 2·sinx·cosx
-
sin(2x)=2·sinx en general.
La fórmula correcta incluye el factor cosx: sin(2x)=2sinx·cosx.
Respuesta: Falso
-
¿De qué identidad se deduce el seno del ángulo doble?
Es un caso particular de esa fórmula.
Respuesta: A) Del seno de una suma, haciendo α=β=x
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
sin(2x)=sin²x.
sin(2x)=2sinx·cosx, no es lo mismo que sin²x.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si sinx=0,5 y cosx=0,866, ¿cuál es sin(2x)?
2×0,5×0,866≈0,866.
Respuesta: A) 0,866
-
Si sinx=0,8 y cosx=0,6, sin(2x)=0,96.
2×0,8×0,6=0,96.
Respuesta: Verdadero
-
Si sin(2x)=0,6 y cosx=0,3, ¿cuál es sinx (aproximado)?
sinx=sin(2x)/(2cosx)=0,6/0,6=1.
Respuesta: A) 1
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al aplicar esta identidad?
Es un error muy común al confundir esta fórmula.
Respuesta: A) Olvidar el factor cosx, calculando solo 2·sinx
-
Esta identidad permite calcular sin(90°) a partir de sin(45°) y cos(45°).
sin(2×45°)=2sin45°cos45°=2×(√2/2)×(√2/2)=1=sin90°.
Respuesta: Verdadero
-
Si sinx=0,28 y cosx=0,96, ¿cuál es sin(2x) aproximadamente?
2×0,28×0,96≈0,54.
Respuesta: A) 0,54