Identidad del seno de una suma de ángulos
Aplicar la identidad del seno de una suma de dos ángulos, que expresa sin(α+β) en función de los senos y cosenos de α y β por separado.
Introducción
El seno de una suma de ángulos no es la suma de los senos; existe una fórmula específica que combina seno y coseno de ambos ángulos.
Explicación
Definición formal
Para ángulos $\alpha$ y $\beta$ cualesquiera, $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$.
Desarrollo didáctico
En la figura, α=20° y β=35°, con suma α+β=55°. Se puede verificar que sin55°=sin20°cos35°+cos20°sin35°, en vez de sumar directamente sin20°+sin35° (que daría un resultado distinto e incorrecto).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los dos ángulos α y β que se están sumando.
- Paso 2: Aplica la fórmula sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ, sustituyendo los valores conocidos.
- Paso 3: Calcula el resultado, verificando que no sea simplemente la suma de los senos por separado.
Ejemplos
1 sin45°=cos45°=√2/2, sin30°=0,5, cos30°=√3/2.
- sin75°=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(0,5)=(√6+√2)/4≈0,966.
2 α=30°, β=30°.
- sin(30°+30°)=sin60°≈0,866, mientras que sin30°+sin30°=1, valores distintos, confirmando que no se puede sumar directamente.
3 ¿Esta identidad involucra tanto seno como coseno de ambos ángulos?
- Sí, la fórmula combina sinα, cosβ, cosα y sinβ.
4 ¿Se puede usar esta identidad para calcular el seno de ángulos no notables descomponiéndolos en dos notables?
- Sí, por ejemplo 75°=45°+30°, ambos ángulos notables.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Sumar directamente los senos de cada ángulo, en vez de aplicar la fórmula correcta."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el orden u operación de la fórmula, por ejemplo restando en vez de sumando los términos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que se necesitan tanto los senos como los cosenos de ambos ángulos para aplicar la identidad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para cualquier par de ángulos $\alpha$ y $\beta$, se cumple $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
sin(α+β) es igual a:
Es la fórmula correcta del seno de una suma.
Respuesta: A) sinα·cosβ+cosα·sinβ
-
sin(α+β)=sinα+sinβ en general.
Esta igualdad no es correcta en general; se debe usar la fórmula completa.
Respuesta: Falso
-
¿Qué valores se necesitan para aplicar esta identidad?
La fórmula combina ambos valores de cada ángulo.
Respuesta: A) Los senos y cosenos de ambos ángulos
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Esta identidad permite calcular el seno de 75° descomponiéndolo como 45°+30°.
45° y 30° son ángulos notables cuyos valores se conocen.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Usando sin(30°+45°), ¿cuál es la expresión correcta antes de calcular?
Es la aplicación directa de la fórmula.
Respuesta: A) sin30°cos45°+cos30°sin45°
-
sin(90°)=sin(45°+45°)=2·sin45°·cos45°.
sin(45°+45°)=sin45°cos45°+cos45°sin45°=2sin45°cos45°=1=sin90°.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el valor de sin(90°) usando sin(60°+30°)?
sin60°cos30°+cos60°sin30°=(√3/2)(√3/2)+(0,5)(0,5)=0,75+0,25=1.
Respuesta: A) 1
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
La identidad del ángulo doble sin(2x)=2sinx·cosx se deduce de esta fórmula haciendo α=β=x.
sin(x+x)=sinx·cosx+cosx·sinx=2sinx·cosx.
Respuesta: Verdadero
-
Si sinα=0,6, cosα=0,8, sinβ=0,5 y cosβ=0,866, ¿cuál es sin(α+β) aproximadamente?
sin(α+β)=0,6×0,866+0,8×0,5=0,52+0,4=0,92.
Respuesta: A) 0,92
-
¿Por qué es útil la identidad del seno de una suma?
Es su principal utilidad práctica.
Respuesta: A) Permite calcular el seno de ángulos no notables descomponiéndolos en ángulos conocidos